min f (x)=(x1-2)^2+(x2-1)^2

这是一个二维的无约束优化问题，可以通过求解该函数的梯度和 Hessian 矩阵来找到全局最小值点。

首先求解梯度：

∇f(x) = [2(x1-2), 2(x2-1)]

然后求解 Hessian 矩阵：

H(f)(x) = [2 0; 0 2]

因此，该函数的全局最小值点为 x* = [2,1]，此时 f(x*) = 0。

可以使用梯度下降等优化算法来寻找最小值点。例如，可以使用以下 Python 代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def f(x):
    return (x[0]-2)**2 + (x[1]-1)**2

def grad_f(x):
    return np.array([2*(x[0]-2), 2*(x[1]-1)])

x0 = np.array([0, 0])
res = minimize(f, x0, method='BFGS', jac=grad_f, options={'disp': True})
print(res.x)

其中，使用 `minimize` 函数来进行优化，优化方法选择 BFGS，设置梯度为 `grad_f`，并输出最终结果。运行结果为 `[2. 1.]`，与理论最小值点相符。

相关问题

外点罚函数法求解 min f(x) = (x1 - 2)^2+(x2 - 1)^2 -0.25*（x1）^2-(x2)^2+1>=0 x1-2*x2 +1=0 接口函数[xstar, fxstar, iter] = penalty(penalty func,contrains，Xo, E)初始迭代点Xo = (2,2)，E= 1e-3

这道题目和之前的一道题目非常相似，只是约束条件变成了等式约束，因此我们只需要对上面的代码略作修改即可。以下是修改后的代码：

% 目标函数
fun = @(x) (x(1)-2)^2 + (x(2)-1)^2 - 0.25*x(1)^2 - x(2)^2;

% 约束条件函数
constr = @(x) [x(1)-2*x(2)+1, x(1)-2*x(2)-1];

% 罚函数参数
mu0 = 10;
rho = 2;

% 初始罚函数
penalty_fun = @(x) mu0*sum(max(0, constr(x))) + fun(x);

% 定义罚函数更新函数
update_penalty = @(mu) mu*rho;

% 定义罚函数参数初始值
mu = mu0;

% 初始点
x0 = [2, 2];

% 容许误差
E = 1e-3;

% 迭代计数器
iter = 0;

while true
    % 优化
    [xstar, fxstar] = fminsearch(penalty_fun, x0);
    
    % 更新罚函数参数和罚函数
    mu = update_penalty(mu);
    penalty_fun = @(x) mu*sum(max(0, constr(x))) + fun(x);
    
    % 如果满足容许误差，结束迭代
    if max(abs(constr(xstar))) < E
        break;
    end
    
    % 更新初始点
    x0 = xstar;
    
    % 迭代计数器加1
    iter = iter + 1;
end

% 输出结果
disp('最优解：');
disp(xstar);
disp('目标函数值：');
disp(fxstar);
disp('迭代次数：');
disp(iter);

和之前一样，我们先定义了目标函数和约束条件函数，然后定义了罚函数和罚函数参数的初始值。接下来，我们使用一个循环来不断更新罚函数和罚函数参数，并使用 `fminsearch` 求解罚函数最小值来得到最优解。如果最优解满足容许误差，就结束循环。最后，我们返回最优解、目标函数值和迭代次数。

需要注意的是，由于约束条件变成了等式约束，因此我们需要将约束条件函数也做出相应的修改。在这个例子中，我们将第二个约束条件从 $1 - x_1^2 - x_2^2 \geq 0$ 修改为 $x_1 - 2x_2 - 1 = 0$。

外点罚函数法求解 min f(x) = (x1 - 2)^2+(x2 - 1)^2 约束条件 -0.25*（x1）^2-(x2)^2+1>=0 x1-2*x2 +1=0 接口函数[xstar, fxstar, iter] = penalty(penalty func,contrains，Xo, E)初始迭代点Xo = (2,2)，E= 1e-3

根题目所给的函数和约束条件，我们可以写出 MATLAB 代码实现外点罚函数法来求解此问题。以下是代码实现：

% 定义目标函数和约束条件
fun = @(x) (x(1) - 2)^2 + (x(2) - 1)^2; % 目标函数
nonlcon = @(x) [-0.25 * x(1)^2 - x(2)^2 + 1; x(1) - 2 * x(2) + 1]; % 约束条件

% 定义罚函数
penal = @(x, rho) fun(x) + rho * sum(max(0, nonlcon(x)).^2);

% 定义外点罚函数法的参数
x0 = [2; 2]; % 初始点
rho = 1; % 罚函数系数
tol = 1e-3; % 精度
maxiter = 100; % 最大迭代次数

% 外点罚函数法主程序
for i = 1:maxiter
    % 使用fmincon求解罚函数的最小值
    options = optimoptions('fmincon', 'Display', 'off');
    [x, fval, exitflag, output] = fmincon(@(x)penal(x, rho), x0, [], [], [], [], [], [], @(x)nonlcon(x), options);
    
    % 判断是否收敛
    if norm(nonlcon(x), inf) < tol
        break;
    end
    
    % 更新参数
    rho = rho * 10;
    x0 = x;
end

% 输出结果
xstar = x;
fxstar = fval;
iter = i;
fprintf('最优点为：(%f, %f)\n', xstar(1), xstar(2));
fprintf('最优解为：%f\n', fxstar);
fprintf('迭代次数为：%d\n', iter);

代码中，我们首先定义了目标函数和约束条件。然后，我们定义了罚函数`penal`，其输入参数为当前点和罚函数系数`rho`。在主程序中，我们使用`fmincon`函数求解罚函数的最小值，并在每次迭代后更新罚函数系数和初始点，直到满足精度要求或达到最大迭代次数。最后输出求解结果。

注意，我们使用了`norm`函数来计算约束条件的范数，其中`inf`表示无穷范数，即最大绝对值。