二次规划问题的对偶问题用python如何表示
时间: 2024-03-24 16:35:52 浏览: 25
二次规划问题的对偶问题可以用 Python 中的 cvxpy 模块来表示和求解。假设原问题的形式为:
$$
\begin{aligned}
\min_{x} \quad & \frac{1}{2} x^T P x + q^T x \\
\text{s.t.} \quad & Gx \leq h \\
& Ax = b
\end{aligned}
$$
则其对偶问题的形式为:
$$
\begin{aligned}
\max_{\lambda} \quad & -\frac{1}{2} \lambda^T G P^{-1} G^T \lambda - q^T P^{-1} G^T \lambda \\
\text{s.t.} \quad & A^T \lambda = 0 \\
& \lambda \geq 0
\end{aligned}
$$
其中,$x$ 为原问题的决策变量,$\lambda$ 为对偶问题的决策变量。
下面是一个使用 cvxpy 模块求解对偶问题的示例代码:
```python
import numpy as np
import cvxpy as cp
# 定义原问题的数据
P = np.array([[1, 0], [0, 2]])
q = np.array([1, -2])
G = np.array([[-1, 0], [0, -1], [-1, -3], [2, 5]])
h = np.array([0, 0, -15, 100])
A = np.array([[1, 1]])
b = np.array([1])
# 定义对偶问题的变量和约束
n = G.shape[0]
m = A.shape[0]
lambd = cp.Variable(n)
constraints = [A.T @ lambd == 0, lambd >= 0]
# 定义对偶问题的目标函数
dual_objective = cp.Maximize(-0.5 * cp.quad_form(lambd, G @ np.linalg.inv(P) @ G.T) - q @ np.linalg.inv(P) @ G.T @ lambd)
# 求解对偶问题
dual_problem = cp.Problem(dual_objective, constraints)
dual_problem.solve()
# 输出对偶问题的解
print("Optimal value of the dual problem:", dual_problem.value)
print("Optimal solution of the dual problem:", lambd.value)
```
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