任何一个自然数m的立方均可写成m个连续奇数之和。例如: 1^3=1 2^3=3+5 3^3=7+9+11 4^3=13+15+17+19 编程实现:输入一自然数n,求组成n3的n个连续奇数。 **输入格式要求:"%d" 提示信息:"\nInput an integer here please:\n" **输出格式要求:"%d*%d*%d=%d+%d+...." 程序运行示例如下: Input an integer here please:5 5*5*5=21+23+25+27+29
时间: 2023-12-29 21:03:23 浏览: 70
以下是实现此功能的Python代码:
```python
n = int(input("\nInput an integer here please:\n"))
start = n * (n - 1) + 1
output = str(start)
sum = start
for i in range(1, n):
num = start + 2 * i
output += "+" + str(num)
sum += num
print(str(n) + "*" + str(n) + "*" + str(n) + "=" + output + "=" + str(sum))
```
运行示例:
```
Input an integer here please:
5
5*5*5=21+23+25+27+29=125
```
相关问题
任何一个自然数m的立方均可写成m个连续奇数之和
### 回答1:
这个命题是正确的。换句话说,对于任何自然数$m$,$m$的立方都可以写成$m$个连续奇数之和的形式。
具体地,设$m$为任意自然数,则$m$的立方可以表示为$m$个连续奇数之和的形式:
$$
m^3=n+(n+2)+(n+4)+\cdots+(n+2(m-1))
$$
其中$n$为某个整数。对上式进行化简可以得到:
$$
m^3=mn+m(m-1)=m^2n+m(1-m+m)=m^2n-m^2+m+m^2
$$
移项得:
$$
m^3=(n-m+1)+(n-m+3)+(n-m+5)+\cdots+(n+m-3)+(n+m-1)
$$
其中$n=\frac{m^2+m}{2}$,可以验证这$m$个数恰好是连续的奇数。因此,任何一个自然数$m$的立方均可写成$m$个连续奇数之和的形式。
### 回答2:
对于任意一个自然数 $m$,我们可以将其立方表示为 $(m-1)^3 + 3(m-1)^2 + 3(m-1) + 1$。展开式子后,可以得到一个关于 $m$ 的表达式:$m^3 = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2m - 1)$。
那么如何证明这个表达式呢?我们可以采用数学归纳法来证明。
1. 当 $m=1$ 时,等式左边为 $1^3 = 1$,右边为 $1$,显然成立。
2. 假设等式对于 $m=k$ 成立,即 $k^3 = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1)$。
3. 当 $m=k+1$ 时,我们可以将 $(k+1)^3$ 表示为 $(k^3 + 3k^2 + 3k + 1)$。根据归纳假设,我们可以将 $k^3$ 表示为 $1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1)$。
接下来,我们只需要证明 $3k^2 + 3k$ 可以表示为 $(2k + 1) + (2k + 3) + \cdots + (2k + 2k - 1)$ 即可。
$(2k+1)+(2k+3)+(2k+5)+\cdots+(2k+(2k-1))$
$=2k^2+k+2k^2+k+2k+1+2k^2+k+4k+3+\cdots+2k^2+k+4k+2k-1$
$=m(2k)+(k+1)+(k+2)+\cdots+(k+2k-1)$ (其中,$m$ 为 $k$ 与 $(k+1)$ 之间的奇数,即 $m=2k+1$)
$=m(2k)+k^2+k+(k+1)+(k+2)+\cdots+(k+2k-1)-k^2$
$=m(2k)+(k+1)+(k+2)+\cdots+(k+2k-1)+(k^2+k)$
由于 $m=2k+1$,因此 $3k^2 + 3k = m(2k) + (k+1)+(k+2) + \cdots + (k+2k-1) + (k^2+k)$。
所以可以得到 $(k+1)^3 = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2k-1) + (2k+1) + (2k+3) + \cdots + (2k+2k-1)$。
根据数学归纳法,对于任意一个自然数 $m$,其立方均可写成 $m$ 个连续奇数之和。证毕。
### 回答3:
这个问题涉及到代数和数学归纳法的知识。
根据代数的知识,一个自然数m的立方可以表示为:
m^3 = (m-1)^3 + 3(m-1)^2 + 3(m-1) + 1
通过展开上述公式,可以得到:
m^3 = (2m-1) + (2m-3) + ... + (m+1) + m + (m-1) + ... + 3 + 1
上式中的每一个括号表示一个奇数。因此,可以将m的立方表示为m个连续奇数之和。例如,当m=4时,有:
4^3 = 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
将上面的式子套到数学归纳法中,假设对于任意一个自然数k,都可以将k的立方表示为k个连续奇数之和。现在需要证明当k+1时,仍然可以将(k+1)的立方表示为(k+1)个连续奇数之和。首先,根据代数知识,可以得到:
(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1
将假设代入上式中,可以得到:
(k+1)^3 = (2k-1) + (2k-3) + ... + (k+2) + (k+1) + k + ... + 3 + 1 + 3k^2 + 3k
合并同类项,可以得到:
(k+1)^3 = (2k+1) + (2k-1) + ... + (k+3) + (k+1) + (k-1) + ... + 1
以上的式子仍然表示为k+1个连续的奇数之和,因此原命题被证明。
任何一个自然数m的立方均可写成m个连续奇数之和。例如: 1^3=1 2^3=3+5 3^3=7+9+11 4^3=13+15+17+19 编程实现:输入一自然数n,求组成n3的n个连续奇数。 **输入格式要求:"%d" 提示信息:"\nInput an integer here please:\n" **输出格式要求:"%d*%d*%d=%d+%d+...."
好的,我已经理解了您的问题。以下是实现该功能的代码,希望能对您有所帮助。
```python
#include <stdio.h>
int main() {
int n, i, j, sum = 0;
printf("\nInput an integer here please:\n");
scanf("%d", &n);
printf("%d*%d*%d=", n, n, n);
for (i = 0, j = n * n - n + 1; i < n; i++, j += 2) {
printf("%d", j);
sum += j;
if (i != n - 1) printf("+");
}
printf("=%d", sum);
return 0;
}
```
运行程序后,会提示您输入一个自然数n,然后输出n个连续奇数的和,如下面的例子所示:
```
Input an integer here please:
4
4*4*4=13+15+17+19=64
```
希望能对您有所帮助!
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