四元数与欧拉角转换示例

假设我们有一个四元数 $q = w + xi + yj + zk$，其中 $w$ 为实部，$x, y, z$ 为虚部。要将其转换为欧拉角，需要进行以下步骤：

1. 计算旋转矩阵

首先，我们需要将四元数转换为旋转矩阵。根据四元数的定义，可以得到：

$$
\begin{bmatrix}
1 - 2y^2 - 2z^2 & 2xy - 2wz & 2xz + 2wy \\
2xy + 2wz & 1 - 2x^2 - 2z^2 & 2yz - 2wx \\
2xz - 2wy & 2yz + 2wx & 1 - 2x^2 - 2y^2
\end{bmatrix}
$$

这个矩阵就是我们需要的旋转矩阵。

2. 计算欧拉角

接下来，我们将旋转矩阵转换为欧拉角。这里我们假设旋转顺序为 Z-Y-X，即先绕 Z 轴旋转，再绕 Y 轴旋转，最后绕 X 轴旋转。

根据欧拉角的定义，可以得到以下公式：

$$
\begin{aligned}
\theta_1 &= \arctan2(r_{21}, r_{11}) \\
\theta_2 &= \arctan2(-r_{31}, \sqrt{r_{32}^2 + r_{33}^2}) \\
\theta_3 &= \arctan2(r_{32}, r_{33})
\end{aligned}
$$

其中 $\arctan2(y, x)$ 表示 $y/x$ 的反正切值，但是可以根据 $x$ 和 $y$ 的符号确定角度的象限。$r_{ij}$ 表示旋转矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。

这样，我们就得到了四元数到欧拉角的转换公式。反过来，如果我们有欧拉角，也可以通过类似的公式将其转换为四元数。