设计一个高斯消元的算法

高斯消元算法是一种用于解线性方程组的数值算法，它通过将系数矩阵变换为上三角矩阵，然后再回代求解未知数的值。下面是一个实现高斯消元算法的基本步骤：

1. 将系数矩阵和常数向量合并成增广矩阵。
2. 对增广矩阵的每一行进行操作，使得该行的第一个非零元素为1，即进行行交换和除法操作，将对角线元素化为1。
3. 对除去对角线元素的每一行执行一次消元操作，即将该行的第一个非零元素下方的所有元素都减去一个倍数，使得该元素变为0。
4. 重复步骤2和3，直到增广矩阵变为上三角矩阵。
5. 从最后一行开始，依次回代求解未知数的值。

下面是一个伪代码实现：

for i = 1 to n-1 do
    if A[i,i] == 0 then
        找到A[j,i] != 0的行j
        交换第i行和第j行
    for j = i+1 to n do
        r = A[j,i] / A[i,i]
        for k = i+1 to n+1 do
            A[j,k] = A[j,k] - r*A[i,k]
for i = n to 1 do
    x[i] = A[i,n+1]
    for j = i+1 to n do
        x[i] = x[i] - A[i,j]*x[j]
    x[i] = x[i] / A[i,i]

相关问题

高斯消元算法C++

高斯消元算法是一种线性方程组求解方法，可以通过将系数矩阵化为一个上三角矩阵，从而求解出未知数的值。

以下是使用C++实现高斯消元算法的示例代码：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100;

int main()
{
    int n; // 系数矩阵的行数（也是列数）
    double a[N][N], b[N]; // 系数矩阵和常数向量
    double ans[N]; // 存储解向量

    // 输入系数矩阵和常数向量
    cout << "请输入系数矩阵和常数向量：" << endl;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
            cin >> a[i][j];
        cin >> b[i];
    }

    // 高斯消元
    for (int k = 0; k < n; k++) // 第k列
    {
        int p = k;
        for (int i = k; i < n; i++) // 选主元
            if (abs(a[i][k]) > abs(a[p][k]))
                p = i;
        if (p != k) // 交换第k行和第p行
        {
            for (int j = k; j < n; j++)
                swap(a[k][j], a[p][j]);
            swap(b[k], b[p]);
        }
        for (int i = k + 1; i < n; i++) // 消元
        {
            double f = a[i][k] / a[k][k];
            for (int j = k + 1; j < n; j++)
                a[i][j] -= f * a[k][j];
            b[i] -= f * b[k];
        }
    }

    // 回带求解
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
    {
        ans[i] = b[i];
        for (int j = i + 1; j < n; j++)
            ans[i] -= a[i][j] * ans[j];
        ans[i] /= a[i][i];
    }

    // 输出解向量
    cout << "解向量为：" << endl;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cout << ans[i] << " ";

    return 0;
}

在上面的代码中，我们首先输入系数矩阵和常数向量，然后执行高斯消元算法，将系数矩阵化为一个上三角矩阵。接着，我们使用回带法求解未知数的值，并将结果输出。

fortran高斯消元

下面是Fortran语言实现高斯消元算法的代码：

program gauss_elimination
implicit none

integer, parameter :: n = 3  ! 矩阵维度
real :: a(n,n+1), x(n)     ! 矩阵及其解向量
integer :: i, j, k         ! 循环计数器
real :: factor             ! 消元系数

! 输入矩阵
a = reshape([2, 1, -1, 8, -5, 2, 1, 2, 4, 3, -1, 2], [n,n+1])

! 高斯消元
do k = 1, n-1
    do i = k+1, n
        factor = a(i,k) / a(k,k)
        do j = k+1, n+1
            a(i,j) = a(i,j) - factor * a(k,j)
        end do
    end do
end do

! 回带求解
do i = n, 1, -1
    x(i) = a(i,n+1)
    do j = i+1, n
        x(i) = x(i) - a(i,j) * x(j)
    end do
    x(i) = x(i) / a(i,i)
end do

! 输出解向量
write(*,*) "Solution vector:"
do i = 1, n
    write(*,*) x(i)
end do

end program gauss_elimination

这个程序实现了对一个3阶方程组的求解，其中矩阵A的元素为：

| 2  1 -1 |  | x1 |   |  8 |
| 8 -5  2 |  | x2 | = | -3 |
| 1  2  4 |  | x3 |   | 27 |

程序中的注释已经解释了每一行代码的作用，这里就不再赘述了。需要注意的是，在Fortran中数组下标是从1开始的，因此在程序中的循环计数器也是从1开始的。