1. 设节点 ，试适当选取节点，编写程序用Lagrange插值法分别构造cos x在区间 上的一次、二次、四次插值多项式P1(x), P2(x)和P4(x)，并在一张图上画出原函数以及三个插值函数的图像（做好图示标注）．

我们可以选择节点为 $x_0=0, x_1=\frac{\pi}{2}, x_2=\pi, x_3=\frac{3\pi}{2}, x_4=2\pi$。则在这五个节点处，cos函数的函数值分别为 $1,0,-1,0,1$。

接下来，我们可以使用Lagrange插值法来求解cos函数在 $[0,2\pi]$ 区间上的一次、二次、四次插值多项式。

一次插值多项式 $P_1(x)$：
$$
P_1(x) = \frac{x-x_1}{x_0-x_1}f(x_0) + \frac{x-x_0}{x_1-x_0}f(x_1)
= \frac{x-\frac{\pi}{2}}{-\frac{\pi}{2}} \cdot 0 + \frac{x}{\frac{\pi}{2}} \cdot 1
= \frac{2x}{\pi}
$$

二次插值多项式 $P_2(x)$：
$$
P_2(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}f(x_0) + \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}f(x_1) + \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}f(x_2)
$$

$$
= \frac{x^2-\pi x}{\frac{\pi^2}{4}} \cdot 0 + \frac{x^2-\frac{\pi}{2}x}{-\frac{\pi^2}{4}} \cdot 1 + \frac{x^2}{\frac{\pi^2}{4}} \cdot (-1)
= \frac{4x^2 - 4\pi x + \pi^2}{\pi^2}
$$

四次插值多项式 $P_4(x)$：
$$
P_4(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)(x_0-x_4)}f(x_0) + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)}f(x_1) + \dots + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_4-x_0)(x_4-x_1)(x_4-x_2)(x_4-x_3)}f(x_4)
$$

$$
= \frac{(x-\frac{\pi}{2})(x-\pi)(x-\frac{3\pi}{2})(x-2\pi)}{-\frac{\pi^4}{16}} \cdot 0 +
\frac{x(x-\pi)(x-\frac{3\pi}{2})(x-2\pi)}{\frac{\pi^4}{16}} \cdot 1 +
\frac{(x-x_0)x(x-\frac{3\pi}{2})(x-2\pi)}{-\frac{\pi^4}{16}} \cdot (-1) + \\
\frac{(x-x_0)(x-x_1)x(x-2\pi)}{\frac{\pi^4}{16}} \cdot 0 +
\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-\frac{3\pi}{2})x}{-\frac{\pi^4}{16}} \cdot 1 \\
= \frac{-x^4+4\pi x^3-6\pi^2 x^2+4\pi^3 x - \pi^4}{\pi^4}
$$

下面是使用Python绘制cos函数、一次、二次、四次插值多项式的代码和图像：