在 MATLAB 中编写函数来实现 Lagrange 插值法和 Newton 插值法, 给出具体代码

在MATLAB中，Lagrange插值和Newton插值是非常常见的数值计算任务。下面是两个简单的函数示例：

1. **Lagrange插值法**：

function y = lagrange_interpolation(x, xi, yi)
    n = length(xi);
    % 计算拉格朗日基 polynomials
    l = ones(1, n);
    for i = 1:n
        l(i) = prod((x - xi(1:i-1)) ./ (xi(i) - xi(1:i-1)));
    end
    % 根据yi返回插值值
    y = sum(l .* yi);  % yi is a vector of interpolation points
end

使用这个函数，你可以传递你想要插值的数据点 `x`、节点 `xi` 和它们对应的值 `yi`。

2. **Newton插值法**：

function p = newton_interpolation(x, f)
    n = length(x);
    p = zeros(1, n+1);  % 创建一个(n+1)x1的向量存储多项式系数
    for k = n:-1:1
        pk = (f(x(k+1:end)) - polyval(p, x(k+1:end))) ./ (x(k) - x(k+1:end));
        p = [p; pk];  % 将当前项添加到多项式系数向量中
    end
end

这个函数接受一组数据点 `x` 和其对应函数值 `f` 的数组，返回一个多项式的系数，可以用于计算任意输入的插值值。