对于函数1/(1+x^2) 在[-5,5]内,按等距节点求n次lagrange插值多项式和newton插值多项式。 取100点,画出插值多项式和原函数的对比图。 并分别比较在x=3.5,x=4.5处的值。 给出具体的matlab代码

时间: 2024-09-10 14:04:58 浏览: 90
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函数逼近中的(Lagrange)拉格朗日插值法求函数近似值 算法及北太天元实现

首先,我们需要了解Lagrange插值多项式和Newton插值多项式的定义和计算方法。 Lagrange插值多项式的基本形式是: \[ L_n(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot l_i(x) \] 其中 \( l_i(x) \) 是Lagrange基多项式,定义为: \[ l_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \] \( x_i \) 是给定节点,\( y_i \) 是在 \( x_i \) 处的函数值。 Newton插值多项式则是: \[ N_n(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + \cdots + a_n(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1}) \] 其中 \( a_i \) 是差商,可以通过差商表计算得到。 对于函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \),我们可以在区间 \([-5,5]\) 上取等距节点进行插值。对于Lagrange和Newton插值多项式,我们需要分别计算出对应的插值多项式的系数,然后在MATLAB中画出插值多项式和原函数的图像,并计算特定点的函数值。 以下是一个MATLAB代码示例,用于计算和绘制Lagrange和Newton插值多项式以及比较特定点的值: ```matlab % 定义原函数 f = @(x) 1./(1+x.^2); % 定义区间和节点数 a = -5; b = 5; n = 99; % 插值节点数,加1是因为包括区间端点 x = linspace(a, b, n+1); y = f(x); % 使用Lagrange插值多项式 lagrange_poly = @(xq) lagrangeInterpolation(x, y, xq); lagrange_vals = lagrange_poly(linspace(a, b, 100)); % 使用Newton插值多项式 newton_poly = @(xq) newtonInterpolation(x, y, xq); newton_vals = newton_poly(linspace(a, b, 100)); % 绘制原函数和插值多项式 x_plot = linspace(a, b, 1000); y_plot = f(x_plot); figure; plot(x_plot, y_plot, 'k', 'LineWidth', 1.5); hold on; plot(x_plot, lagrange_vals, 'b--', 'LineWidth', 1.5); plot(x_plot, newton_vals, 'r-.', 'LineWidth', 1.5); legend('Original function', 'Lagrange polynomial', 'Newton polynomial'); title('Lagrange and Newton Interpolation'); hold off; % 计算特定点的值 x_specific = [3.5, 4.5]; lagrange_specific = lagrange_poly(x_specific); newton_specific = newton_poly(x_specific); y_specific = f(x_specific); disp('Values at specific points:'); disp(['x=3.5: f(x) = ', num2str(y_specific(1)), ', Lagrange = ', num2str(lagrange_specific(1)), ', Newton = ', num2str(newton_specific(1))]); disp(['x=4.5: f(x) = ', num2str(y_specific(2)), ', Lagrange = ', num2str(lagrange_specific(2)), ', Newton = ', num2str(newton_specific(2))]); % Lagrange插值函数 function L = lagrangeInterpolation(x, y, xq) n = length(x); L = 0; for i = 1:n li = 1; for j = 1:n if j ~= i li = li * (xq - x(j)) / (x(i) - x(j)); end end L = L + y(i) * li; end end % Newton插值函数 function N = newtonInterpolation(x, y, xq) n = length(x); divided_diff = dividedDifferences(x, y); N = divided_diff(1); prod = 1; for k = 1:n-1 prod = prod .* (xq - x(1:k)); N = N + divided_diff(k+1) * prod; end end % 计算差商 function dd = dividedDifferences(x, y) n = length(y); dd = zeros(n, n); dd(:,1) = y(:); for j = 2:n for i = 1:n-j+1 dd(i,j) = (dd(i+1,j-1) - dd(i,j-1)) / (x(i+j-1) - x(i)); end end end ``` 请确保在运行此代码之前,你的MATLAB环境是正确配置的,并且你已经安装了必要的工具箱和函数。此外,代码中的插值节点数`n`设置为99是为了包含区间端点`-5`和`5`。
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