广义特征值分解和特征值分解的相同于不同
时间: 2023-03-13 07:46:39 浏览: 601
广义特征值分解(Generalized Eigenvalue Decomposition)和特征值分解(Eigenvalue Decomposition)在基本原理上是一样的,都是用来对一个矩阵进行分解,从而获得它的特征值和特征向量。但是,广义特征值分解比特征值分解更加强大,因为它可以用于求解一般的矩阵,而特征值分解只能用于求解对称矩阵。
相关问题
广义特征向量和广义特征值
广义特征向量和广义特征值是矩阵理论中的概念,用于描述矩阵的特征性质。
对于一个n阶矩阵A和一个n维非零向量x,如果存在一个数λ,使得Ax=λx,则称λ为矩阵A的特征值,x称为矩阵A的特征向量。
而对于一个n阶矩阵A和一个k维非零向量x(k<n),如果存在一个k维非零向量y,使得Ay=λy,则称λ为矩阵A的广义特征值,(x,y)称为矩阵A的广义特征向量。
广义特征值和广义特征向量的概念是特征值和特征向量的推广,它们在矩阵理论、线性代数、数学物理等领域有广泛应用。
matlab求广义特征值
MATLAB可以使用 `eig` 函数求解矩阵的特征值,但是该函数只能求解方阵的特征值。如果需要求解广义特征值问题,需要使用 `eigs` 或 `eig` 函数的扩展形式。
下面介绍两种求解广义特征值的方法:
## 方法一:使用 `eigs` 函数
`eigs` 函数可以求解广义特征值问题,它的调用格式为:
```matlab
[V, D] = eigs(A, B, k, sigma)
```
其中,`A` 和 `B` 分别为广义特征值问题中的两个矩阵,`k` 为所需求解的广义特征值的个数,`sigma` 为求解特征值的算法类型。`V` 和 `D` 分别为广义特征值问题的广义特征向量和广义特征值。
例如,假设需要求解广义特征值问题 Ax = λBx,其中 A 和 B 分别为 4×4 的矩阵,需要求解前 3 个广义特征值,可以使用如下代码:
```matlab
A = [1 2 3 4; 2 4 6 8; 3 6 9 12; 4 8 12 16];
B = [1 0 0 0; 0 2 0 0; 0 0 3 0; 0 0 0 4];
k = 3;
sigma = 'sm';
[V, D] = eigs(A, B, k, sigma);
```
## 方法二:将广义特征值问题转化为普通特征值问题
广义特征值问题可以通过将其转化为普通特征值问题来求解。具体做法是将广义特征值问题 Ax = λBx 转化为普通特征值问题 B^{-1}Ax = λx,然后使用 `eig` 函数求解即可。
例如,假设需要求解广义特征值问题 Ax = λBx,其中 A 和 B 分别为 4×4 的矩阵,可以使用如下代码将其转化为普通特征值问题:
```matlab
A = [1 2 3 4; 2 4 6 8; 3 6 9 12; 4 8 12 16];
B = [1 0 0 0; 0 2 0 0; 0 0 3 0; 0 0 0 4];
[V, D] = eig(B\A);
```
需要注意的是,当广义特征值问题的矩阵 B 不可逆时,无法使用该方法求解。此时应该使用 `eigs` 函数求解。