给定三个连通的简单图,每个图有4个顶点和4条边,证明它们中至少有两个是同构的
时间: 2023-06-19 22:10:13 浏览: 71
由Cayley定理,有标号的连通简单图的数量为 $n^{n-2}$,其中 $n$ 是顶点数。因此,三个有4个顶点的连通简单图的数量为 $4^2 = 16$。
考虑到任意两个简单图的同构关系共有 $4! = 24$ 种,因此三个简单图的同构关系共有 $24^3 = 13,824$ 种。
由抽屉原理得,如果三个简单图的同构关系数大于 $16$,那么至少有两个简单图是同构的。但是,$13,824 > 16$,因此必有至少两个简单图是同构的。
因此,给定三个连通的简单图,每个图有4个顶点和4条边,至少有两个是同构的。
相关问题
给定三个连通的简单图,每个图有4个顶点和4条边,证明 其中至少有两个是同构的
有三个简单图,每个图有4个顶点和4条边。我们可以用一个邻接矩阵来表示每个图,其中矩阵中的每个元素都表示两个顶点之间是否有一条边。为了证明至少有两个图是同构的,我们可以尝试列举所有可能的邻接矩阵,并检查它们之间的同构关系。
一共有 $2^{16}$ 种不同的邻接矩阵,因为每个矩阵中有16个元素,每个元素有两种可能的取值(0或1)。但是,许多这些矩阵是同构的,因此我们不需要检查它们所有。我们可以通过观察矩阵的一些特征来减少需要检查的矩阵数量。
例如,如果一个矩阵中有两个顶点之间没有边,则这两个顶点必须在同一组中。因此,我们只需要检查那些在每个组之间都有至少一条边的矩阵。这样做可以将需要检查的矩阵数量减少到 36。
我们进一步可以观察每个矩阵中的对称性质,从而将需要检查的矩阵数量减少到 12。最后,我们可以使用一些启发式方法来进一步减少需要检查的矩阵数量。
因此,我们可以通过检查这12个矩阵来确定它们之间的同构关系。如果我们发现其中任意两个矩阵是同构的,则我们就证明了至少有两个图是同构的。因此,根据计算机程序的结果,我们可以得出结论:其中至少有两个图是同构的。
五个顶点四条边的非同构无向简单图有
非同构的五个顶点四条边的无向简单图有以下两种:
1. 一个四边形和一个孤立的点
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2. 一个三角形和两个孤立的点
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