图的同构问题：图同构性判断与同构图的性质

# 2.1 判定的基本原理

图同构性的判定本质上是一个NP完全问题，即在多项式时间内无法找到一个确定性算法来解决它。因此，图同构性判定的算法通常采用启发式方法或近似算法。

启发式算法通过探索图的结构和特征，试图找到一个同构映射。这些算法通常具有较高的准确率，但效率较低。常用的启发式算法包括：

- **最大公共子图算法：**该算法通过寻找两个图中最大的公共子图来判断同构性。
- **谱聚类算法：**该算法将图的邻接矩阵作为特征矩阵，通过谱聚类技术将图中的顶点划分为不同的簇，并根据簇的对应关系判断同构性。

# 2. 图同构性的判定算法

### 2.1 判定的基本原理

图同构性的判定本质上是一个图匹配问题，即在两个给定的图中找到一个双射映射，使得映射后的图在顶点和边上都一一对应。判定算法的基本原理是通过逐一检查图中的顶点和边，判断是否存在这样的双射映射。

### 2.2 常用判定算法

#### 2.2.1 邻接矩阵法

**算法原理：**

将两个图的邻接矩阵进行比较。如果两个矩阵完全相同，则两个图同构；否则，两个图不同构。

**代码块：**

import numpy as np

def is_isomorphic_adj_matrix(graph1, graph2):
    """
    判断两个图是否同构（邻接矩阵法）

    Args:
        graph1 (np.array): 图1的邻接矩阵
        graph2 (np.array): 图2的邻接矩阵

    Returns:
        bool: True if the graphs are isomorphic, False otherwise
    """

    # 检查两个矩阵的维度是否相同
    if graph1.shape != graph2.shape:
        return False

    # 比较两个矩阵是否完全相同
    return np.array_equal(graph1, graph2)

**参数说明：**

* `graph1`：图1的邻接矩阵
* `graph2`：图2的邻接矩阵

**逻辑分析：**

* 如果两个图的邻接矩阵完全相同，则说明两个图的顶点和边一一对应，因此两个图同构。
* 如果两个图的邻接矩阵不相同，则说明两个图的顶点或边存在差异，因此两个图不同构。

#### 2.2.2 邻接表法

**算法原理：**

将两个图的邻接表进行比较。如果两个邻接表完全相同，则两个图同构；否则，两个图不同构。

**代码块：**

from collections import defaultdict

def is_isomorphic_adj_list(graph1, graph2):
    """
    判断两个图是否同构（邻接表法）

    Args:
        graph1 (dict): 图1的邻接表
        graph2 (dict): 图2的邻接表

    Returns:
        bool: True if the graphs are isomorphic, False otherwise
    """

    # 检查两个邻接表的顶点数是否相同
    if len(graph1) != len(graph2):
        return False

    # 比较两个邻接表的顶点和边是否一一对应
    for vertex in graph1:
        if vertex not in graph2 or set(graph1[vertex]) != set(graph2[vertex]):
            return False

    return True

**参数说明：**

* `graph1`：图1的邻接表
* `graph2`：图2的邻接表

**逻辑分析：**

* 如果两个图的邻接表完全相同，则说明两个图的顶点和边一一对应，因此两个图同构。
* 如