图的同构问题:图同构性判断与同构图的性质
发布时间: 2024-05-02 07:55:51 阅读量: 280 订阅数: 48
特殊的steinhaus图的同构问题 (2004年)
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# 2.1 判定的基本原理
图同构性的判定本质上是一个NP完全问题,即在多项式时间内无法找到一个确定性算法来解决它。因此,图同构性判定的算法通常采用启发式方法或近似算法。
启发式算法通过探索图的结构和特征,试图找到一个同构映射。这些算法通常具有较高的准确率,但效率较低。常用的启发式算法包括:
- **最大公共子图算法:**该算法通过寻找两个图中最大的公共子图来判断同构性。
- **谱聚类算法:**该算法将图的邻接矩阵作为特征矩阵,通过谱聚类技术将图中的顶点划分为不同的簇,并根据簇的对应关系判断同构性。
# 2. 图同构性的判定算法
### 2.1 判定的基本原理
图同构性的判定本质上是一个图匹配问题,即在两个给定的图中找到一个双射映射,使得映射后的图在顶点和边上都一一对应。判定算法的基本原理是通过逐一检查图中的顶点和边,判断是否存在这样的双射映射。
### 2.2 常用判定算法
#### 2.2.1 邻接矩阵法
**算法原理:**
将两个图的邻接矩阵进行比较。如果两个矩阵完全相同,则两个图同构;否则,两个图不同构。
**代码块:**
```python
import numpy as np
def is_isomorphic_adj_matrix(graph1, graph2):
"""
判断两个图是否同构(邻接矩阵法)
Args:
graph1 (np.array): 图1的邻接矩阵
graph2 (np.array): 图2的邻接矩阵
Returns:
bool: True if the graphs are isomorphic, False otherwise
"""
# 检查两个矩阵的维度是否相同
if graph1.shape != graph2.shape:
return False
# 比较两个矩阵是否完全相同
return np.array_equal(graph1, graph2)
```
**参数说明:**
* `graph1`:图1的邻接矩阵
* `graph2`:图2的邻接矩阵
**逻辑分析:**
* 如果两个图的邻接矩阵完全相同,则说明两个图的顶点和边一一对应,因此两个图同构。
* 如果两个图的邻接矩阵不相同,则说明两个图的顶点或边存在差异,因此两个图不同构。
#### 2.2.2 邻接表法
**算法原理:**
将两个图的邻接表进行比较。如果两个邻接表完全相同,则两个图同构;否则,两个图不同构。
**代码块:**
```python
from collections import defaultdict
def is_isomorphic_adj_list(graph1, graph2):
"""
判断两个图是否同构(邻接表法)
Args:
graph1 (dict): 图1的邻接表
graph2 (dict): 图2的邻接表
Returns:
bool: True if the graphs are isomorphic, False otherwise
"""
# 检查两个邻接表的顶点数是否相同
if len(graph1) != len(graph2):
return False
# 比较两个邻接表的顶点和边是否一一对应
for vertex in graph1:
if vertex not in graph2 or set(graph1[vertex]) != set(graph2[vertex]):
return False
return True
```
**参数说明:**
* `graph1`:图1的邻接表
* `graph2`:图2的邻接表
**逻辑分析:**
* 如果两个图的邻接表完全相同,则说明两个图的顶点和边一一对应,因此两个图同构。
* 如
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