具有一阶连续偏导数是否一定可微
时间: 2024-05-20 15:16:58 浏览: 29
根据一阶微分的定义,一个函数在某点可微,当且仅当它在该点的一阶偏导数存在且连续。因此,具有一阶连续偏导数的函数不一定可微,还需要满足一阶偏导数存在。
举个例子,考虑函数
$$f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq (0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}$$
它的偏导数为
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y^3-x^2y}{(x^2+y^2)^2},\ \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x^3-xy^2}{(x^2+y^2)^2}$$
容易验证,这两个偏导数在原点处连续,但它们在原点处不连续,因此函数 $f(x,y)$ 在原点处不可微。
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```python
from sympy import *
x = Symbol('x')
y = x ** 2 + 2 * x + 1
dy_dx = diff(y, x, 1) # 求一阶偏导数
print(dy_dx)
```
其中,`Symbol`函数用于定义一个符号变量x,`diff`函数用于求解一阶偏导数,第三个参数1表示对x求一阶偏导。最后输出的结果即为f(x)对x的一阶偏导数。