设u=f(xy,xyz),其中f具有二阶连续偏导数,求u对x的偏导数和u对x和y的二阶偏导数
时间: 2024-03-30 21:35:05 浏览: 67
根据链式法则,u对x的偏导数为:
∂u/∂x = (∂f/∂(xy)) * (∂(xy)/∂x) + (∂f/∂(xyz)) * (∂(xyz)/∂x)
= y * (∂f/∂(xy)) + yz * (∂f/∂(xyz))
接下来求u对x和y的二阶偏导数,首先计算u对x的一阶偏导数:
∂u/∂x = y * (∂f/∂(xy)) + yz * (∂f/∂(xyz))
然后对上式对y求偏导数,得到:
∂²u/∂y∂x = (∂/∂y)(y * (∂f/∂(xy))) + (∂/∂y)(yz * (∂f/∂(xyz)))
= (∂²f/∂(xy)²) * y + z * (∂²f/∂(xy)∂(xyz)) + z * (∂²f/∂(xyz)²) * x
最后再对上式对x求偏导数,得到:
∂²u/∂x² = (∂/∂x)((∂²u/∂y∂x))
= (∂/∂x)((∂²f/∂(xy)²) * y + z * (∂²f/∂(xy)∂(xyz)) + z * (∂²f/∂(xyz)²) * x)
= z * (∂³f/∂(xy)²∂(xyz)) + z * (∂³f/∂(xyz)³)
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二阶混合偏导数相等能推出二阶混合偏导数连续吗,为什么
不能推出。虽然二阶混合偏导数相等是连续性的一个必要条件,但并不是充分条件。存在函数二阶混合偏导数相等但不连续的情况。一个典型的例子是:
$$f(x,y)=\begin{cases}
\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2},&\text{if }(x,y)\neq (0,0)\\
0,&\text{if }(x,y)=(0,0)
\end{cases}$$
它的二阶混合偏导数都等于0,但是在点$(0,0)$处不连续。
计算函数 f ( x , y ) = sin ( 3 x y ) 的所有二阶偏导数。
首先,我们计算 $f$ 对 $x$ 的偏导数:
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 3y\cos(3xy)
$$
然后,我们计算上式对 $x$ 的偏导数:
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -9y^2\sin(3xy)
$$
接下来,我们计算 $f$ 对 $y$ 的偏导数:
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = 3x\cos(3xy)
$$
然后,我们计算上式对 $y$ 的偏导数:
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -9x^2\sin(3xy)
$$
最后,我们计算 $f$ 对 $x$ 和 $y$ 的混合偏导数:
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 3\cos(3xy) - 9x^2y\sin(3xy)
$$
因此,函数 $f(x,y) = \sin(3xy)$ 的所有二阶偏导数为:
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -9y^2\sin(3xy), \quad
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -9x^2\sin(3xy), \quad
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 3\cos(3xy) - 9x^2y\sin(3xy)
$$