求z=(1+xy)^y的偏导

根据链式法则，对于 $z=(1+xy)^y$，我们可以先对 $u=1+xy$ 求偏导，再对 $z=u^y$ 求偏导。具体地，

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \\
&= y(1+xy)^{y-1} \cdot y \\
&= y^2(1+xy)^{y-1}
\end{aligned}
$$

同理，我们可以求得

$$
\frac{\partial z}{\partial y} = (1+xy)^y \cdot \left[\ln(1+xy)+y\cdot\frac{x}{1+xy}\right]
$$

因此，$z=(1+xy)^y$ 的偏导数为 $\frac{\partial z}{\partial x}=y^2(1+xy)^{y-1}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=(1+xy)^y \cdot \left[\ln(1+xy)+y\cdot\frac{x}{1+xy}\right]$。

相关问题

z=xy+x^2 matlab求最值

在MATLAB中，如果你想要找到函数 z=xy+x^2 的最小值或最大值，你可以使用内置的优化函数。在这种情况下，我们可以使用 `fminunc` 函数来寻找无约束的最小值。下面是一个如何使用 `fminunc` 函数寻找 z=xy+x^2 最小值的基本示例：

function z = myfun(x)
    z = x(1)*x(2) + x(1)^2;
end

% 初始化变量
x0 = [1, 1]; % 一个合理的初始猜测值
options = optimoptions('fminunc', 'Algorithm', 'quasi-newton', 'Display', 'iter');

% 调用优化函数寻找最小值
[x_min, z_min] = fminunc(@myfun, x0, options);

% 显示结果
disp(['x的最佳值为：', num2str(x_min)]);
disp(['z的最小值为：', num2str(z_min)]);

在这个例子中，`myfun` 是我们定义的函数，它接受一个向量 `x` 作为输入，其中 `x(1)` 和 `x(2)` 分别对应于变量 `x` 和 `y`。我们使用 `fminunc` 函数来找到函数 `myfun` 的最小值，其中 `x0` 是一个初始猜测值，`options` 是用于控制优化过程的选项。

如果你想要寻找最大值，你可以通过最小化函数的负值来实现，因为最大值问题可以通过最小值问题转换而来。比如：

function z = myfun_neg(x)
    z = -(x(1)*x(2) + x(1)^2);
end

% 初始化变量
x0 = [1, 1]; % 同样是一个合理的初始猜测值
options = optimoptions('fminunc', 'Algorithm', 'quasi-newton', 'Display', 'iter');

% 调用优化函数寻找最大值
[x_max, z_max] = fminunc(@myfun_neg, x0, options);

% 显示结果
disp(['x的最佳值为：', num2str(x_max)]);
disp(['z的最大值为：', num2str(-z_max)]);

请注意，实际使用时，你需要确保你的MATLAB安装包含了优化工具箱，因为 `fminunc` 函数是在这个工具箱中提供的。

用matlab求z=(1+xy)^y的偏导

在 MATLAB 中，可以使用符号计算工具箱来求解偏导数。具体操作如下：

1. 定义变量和函数：

syms x y;
z = (1+x*y)^y;

2. 求偏导数：

diff(z, x) % 求对 x 的偏导数
diff(z, y) % 求对 y 的偏导数

运行结果为：

ans = y^2*(x*y + 1)^(y - 1)
ans = (x*y + 1)^y*(log(x*y + 1) + x*y/(x*y + 1))

因此，$z=(1+xy)^y$ 的偏导数为 $\frac{\partial z}{\partial x}=y^2(1+xy)^{y-1}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=(1+xy)^y \cdot \left[\ln(1+xy)+y\cdot\frac{x}{1+xy}\right]$。