求z=(1+xy)^y的偏导
时间: 2024-04-21 21:28:54 浏览: 25
根据链式法则,对于 $z=(1+xy)^y$,我们可以先对 $u=1+xy$ 求偏导,再对 $z=u^y$ 求偏导。具体地,
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \\
&= y(1+xy)^{y-1} \cdot y \\
&= y^2(1+xy)^{y-1}
\end{aligned}
$$
同理,我们可以求得
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = (1+xy)^y \cdot \left[\ln(1+xy)+y\cdot\frac{x}{1+xy}\right]
$$
因此,$z=(1+xy)^y$ 的偏导数为 $\frac{\partial z}{\partial x}=y^2(1+xy)^{y-1}$,$\frac{\partial z}{\partial y}=(1+xy)^y \cdot \left[\ln(1+xy)+y\cdot\frac{x}{1+xy}\right]$。
相关问题
用matlab求z=(1+xy)^y的偏导
在 MATLAB 中,可以使用符号计算工具箱来求解偏导数。具体操作如下:
1. 定义变量和函数:
```matlab
syms x y;
z = (1+x*y)^y;
```
2. 求偏导数:
```matlab
diff(z, x) % 求对 x 的偏导数
diff(z, y) % 求对 y 的偏导数
```
运行结果为:
```
ans = y^2*(x*y + 1)^(y - 1)
ans = (x*y + 1)^y*(log(x*y + 1) + x*y/(x*y + 1))
```
因此,$z=(1+xy)^y$ 的偏导数为 $\frac{\partial z}{\partial x}=y^2(1+xy)^{y-1}$,$\frac{\partial z}{\partial y}=(1+xy)^y \cdot \left[\ln(1+xy)+y\cdot\frac{x}{1+xy}\right]$。
已知x^2+y^2+z^2=1,求xy+yz+xz最大值
根据柯西-斯瓦茨不等式,有:
$(xy+yz+xz)^2 \leq (x^2+y^2+z^2)(y^2+z^2+x^2)$
代入已知条件得:
$(xy+yz+xz)^2 \leq 3$
因为 $x,y,z$ 为实数,当 $xy=yz=xz$ 时取到等号,此时:
$x=y=z=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
代入可得 $xy+yz+xz=\frac{1}{\sqrt{3}}$,所以 $\max(xy+yz+xz)=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
因此,当且仅当 $x=y=z=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ 时,$xy+yz+xz$ 取到最大值 $\frac{1}{\sqrt{3}}$。
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