softmax回归的公式
时间: 2023-11-14 14:04:43 浏览: 26
softmax回归的公式为:
$$\hat{y}_k = \frac{e^{z_k}}{\sum_{i=1}^{K} e^{z_i}}$$
其中,$z_k$表示输入样本属于第$k$个类别的得分,$\hat{y}_k$表示样本属于第$k$个类别的预测概率,$K$表示类别数。公式中的指数函数将得分转化为正数,分母的求和项保证了所有类别预测概率之和为1。
相关问题
softmax回归梯度下降公式推导
softmax回归是一种广泛用于多分类问题的机器学习模型,它的梯度下降公式推导是理解其训练过程的关键。在softmax回归中,我们通常有多个输出节点,每个节点对应一个类别的概率。梯度下降的目标是最小化预测概率分布与实际标签之间的交叉熵损失。
假设我们有一个训练样本(x, y),其中x是输入特征向量,y是对应的类别标签。softmax函数为每个类别的概率分配值,公式为:
\[ P(y=j \mid x) = \frac{e^{z_j}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}} \]
这里的\( z_j = w_j^T x + b_j \),w是权重向量,b是偏置项,K是类别数。
交叉熵损失函数L可以表示为:
\[ L = -\sum_{j=1}^K y_j \log(P(y=j \mid x)) \]
为了最小化这个损失,我们使用梯度下降算法更新参数,计算损失关于权重w和偏置b的偏导数。对于权重w和偏置项b的梯度,我们有:
\[ \frac{\partial L}{\partial w_j} = x \left( P(y=j \mid x) - y_j \right) \]
\[ \frac{\partial L}{\partial b_j} = P(y=j \mid x) - y_j \]
然后,按照学习率η进行更新:
\[ w_j := w_j - \eta \cdot \frac{\partial L}{\partial w_j} \]
\[ b_j := b_j - \eta \cdot \frac{\partial L}{\partial b_j} \]
注意这里\( P(y=j \mid x) \)在计算梯度时会被用到,因此在实际应用中,我们通常不会直接用softmax函数,而是用softmax函数的指数形式来避免数值溢出。
softmax回归算法
softmax回归算法是一种常用的多分类算法,也被称为多项逻辑回归。下面是softmax回归算法的步骤:
1. 数据准备:首先,需要准备一个包含n个样本的训练集,每个样本有m个特征和一个类别标签。特征可以是连续值或离散值。
2. 参数初始化:初始化权重矩阵W和偏置向量b,它们的维度分别为(m, k)和(k, 1),其中k是类别的数量。
3. 前向传播:计算每个样本的线性加权和Z,公式为Z = XW + b,其中X是输入特征矩阵,维度为(n, m)。
4. 激活函数:将线性加权和Z输入到softmax函数中,计算每个类别的概率估计值A,公式为A = softmax(Z),其中softmax函数定义为softmax(z_i) = exp(z_i) / sum(exp(z_j))。
5. 损失函数:使用交叉熵损失函数计算预测概率与真实标签之间的差异,公式为L = -1/n * sum(Y * log(A)),其中Y是真实标签矩阵,维度为(n, k)。
6. 反向传播:计算损失函数对参数W和b的梯度,并更新参数以最小化损失函数。可以使用梯度下降等优化算法来进行参数更新。
7. 重复步骤3-6,直到达到指定的迭代次数或收敛条件。
8. 预测:使用训练好的模型进行预测,将输入样本的特征矩阵X输入到模型中,得到预测概率矩阵A。可以选择概率最高的类别作为预测结果。
softmax回归算法是一种简单而有效的多分类算法,可以处理多个类别的分类问题。它在实践中广泛应用,尤其在图像分类、自然语言处理等领域具有很好的性能。
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