大学数学竞赛常用不等式_竞赛解析 | 2020年全国大学生数学竞赛
时间: 2023-09-20 15:09:01 浏览: 80
在大学数学竞赛中,不等式是一个非常重要的题型,也是必须掌握的数学基础知识之一。以下是一些常用的不等式:
1. 平均值不等式:对于非负实数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$,有 $\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$。
2. 柯西-施瓦茨不等式:对于实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,\cdots,b_n$,有 $(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2) \geq (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$。
3. 三角不等式:对于任意实数 $a,b$,有 $|a+b| \leq |a|+|b|$。
4. 阿姆-戈尔德斯不等式:对于正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和 $b_1,b_2,\cdots,b_n$,有 $\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n} \geq \frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2}{b_1a_1+b_2a_2+\cdots+b_na_n}$。
5. 拉格朗日中值定理:对于函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 内可导,存在 $c \in (a,b)$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$。
以上不等式只是数学竞赛中常用的一部分,还有很多其他的不等式需要掌握。掌握这些不等式,可以更加熟练地运用数学知识解决竞赛题目。