内点惩罚法matlab实现

以下是一个使用内点惩罚法（interior-point method）的 Matlab 优化示例：

假设我们的优化问题如下：

$$
\begin{aligned}
\min &\quad f(x) \\
\text{s.t.} &\quad g(x) \leq 0 \\
&\quad h(x) = 0
\end{aligned}
$$

其中 $x \in \mathbb{R}^n$ 是优化变量，$f(x)$ 是目标函数，$g(x)$ 和 $h(x)$ 分别是不等式约束和等式约束。

使用内点惩罚法，我们可以将上述问题转化为如下形式：

$$
\begin{aligned}
\min &\quad f(x) + \frac{1}{\mu} \sum_{i=1}^{m} \ln(-g_i(x)) \\
\text{s.t.} &\quad h(x) = 0
\end{aligned}
$$

其中 $m$ 是不等式约束的数量，$\mu$ 是正则化参数，通常初始化为一个较小的值。

在 Matlab 中，可以使用 `fmincon` 函数求解上述优化问题。具体来说，可以按照以下步骤进行：

1. 定义目标函数 `objfun`, 不等式约束函数 `constr`, 等式约束函数 `eqconstr`。
2. 定义优化变量的初始值 `x0`。
3. 定义优化问题的上下界 `lb` 和 `ub`。
4. 定义正则化参数 `mu`。
5. 使用 `fmincon` 函数求解优化问题。

示例代码如下：

% 定义目标函数
function f = objfun(x)
    f = (x(1) - 1)^2 + (x(2) - 2.5)^2;
end

% 定义不等式约束函数
function [c, ceq] = constr(x)
    c = [x(1)^2 + x(2)^2 - 4; -x(1) + x(2) - 1];
    ceq = [];
end

% 定义等式约束函数
function [c, ceq] = eqconstr(x)
    c = [];
    ceq = [x(1) + x(2) - 3];
end

% 定义初始值、上下界和正则化参数
x0 = [0; 0];
lb = [-10; -10];
ub = [10; 10];
mu = 1e-3;

% 使用fmincon函数求解优化问题
options = optimoptions('fmincon', 'Algorithm', 'interior-point', 'Display', 'iter');
[x, fval] = fmincon(@(x)objfun(x) + 1/mu*sum(log(-constr(x))), x0, [], [], [], [], lb, ub, @(x)eqconstr(x), options);

在上述示例代码中，我们使用了 `fmincon` 函数求解优化问题，其中 `Algorithm` 参数指定为 `'interior-point'`，表示使用内点惩罚法进行优化。