考虑优化问题 min (x,y)∈R 2 f(x) = (x − 1) 2 + y − 2 s.t. h(x) = y − x − 1 = 0 g(x) = x + y − 2 ≤ 0. 计算满足 KKT 条件的点, 并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点.
时间: 2024-05-30 20:09:09 浏览: 9
首先,我们列出拉格朗日函数:
$$L(x,y,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = (x-1)^2 + y - 2 + \lambda_1(y-x-1) + \lambda_2(x+y-2)$$
其中,$\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是 Lagrange 乘子。
接下来,我们需要求解 KKT 条件:
1. 平稳性条件:$\nabla_x L(x^*,y^*,\lambda_1^*,\lambda_2^*,\lambda_3^*) = 0$,$\nabla_y L(x^*,y^*,\lambda_1^*,\lambda_2^*,\lambda_3^*) = 0$,$\lambda_3^*g(x^*) = 0$。
我们有:
$$\begin{cases} 2(x^*-1) + \lambda_1^* - \lambda_2^* = 0 \\ 1 + \lambda_1^* = 0 \\ \lambda_2^*(x^*+y^*-2) = 0 \end{cases}$$
由第三个方程,我们可以得到两种情况:
- $\lambda_2^* = 0$,则 $x^*+y^*-2 \leq 0$,由 $g(x)$ 的约束条件可知 $x^* = 0$,$y^* = 2$;
- $x^*+y^*-2 = 0$,则由第一和第二个方程可知 $x^* = 1$,$y^* = 2$,$\lambda_1^* = -1$,$\lambda_2^* = 2$。
2. 原始可行性条件:$h(x^*,y^*) = 0$,$g(x^*,y^*) \leq 0$。
根据平稳性条件求得的结果,我们可以看到满足原始可行性条件的点只有 $(1,2)$。
3. 对偶可行性条件:$\lambda_1^* \geq 0$,$\lambda_2^* \geq 0$。
由平稳性条件可知,$\lambda_1^* = -1$,$\lambda_2^* = 2$,满足对偶可行性条件。
4. 互补松弛条件:$\lambda_1^*(y^*-x^*-1) = 0$,$\lambda_2^*(x^*+y^*-2) = 0$。
由平稳性条件求得的结果,可知 $\lambda_1^* \neq 0$,$\lambda_2^* \neq 0$,因此满足互补松弛条件。
综上所述,满足 KKT 条件的点为 $(1,2,-1,2,0)$。接下来,我们需要利用二阶条件验证这个点是否是局部极小值点。
首先,我们需要求出 Hessian 矩阵:
$$H(x,y) = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$$
将 $(1,2)$ 代入 Hessian 矩阵中,我们得到:
$$H(1,2) = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$$
由于 $H(1,2)$ 的主子矩阵 $H_{11}(1,2) = 2 > 0$,且 $|H(1,2)| = 2 > 0$,因此 $(1,2)$ 是局部极小值点。
综上所述,满足 KKT 条件的点为 $(1,2,-1,2,0)$,且 $(1,2)$ 是局部极小值点。