矩阵满秩时矩阵与伴随矩阵的差

当一个矩阵是满秩的，即它的行秩和列秩都等于其阶数，这意味着矩阵是可逆的。在这种情况下，矩阵与其伴随矩阵有一些特殊的关系。矩阵的伴随矩阵(A*)是由原矩阵的行列式对应的单位矩阵通过转置后元素取相反数得到的，对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵也是n阶的。

若矩阵A是满秩的，那么它的逆矩阵A^(-1)存在。此时有以下关系：

1. A * A^(-1) = I，其中I是单位矩阵，表示矩阵A乘以其逆矩阵等于单位矩阵。
2. A * A* = |A| * I，这里|A|是矩阵A的行列式，所以矩阵A乘以其伴随矩阵等于其行列式乘以单位矩阵。

因此，当矩阵A满秩时，矩阵A与它的伴随矩阵A*之差实际上是：

A - A* = A - |A| * (A^(-1))^T

这里的"(A^(-1))^T"是A的逆矩阵的转置。由于A是可逆的，而A*与A的差别仅在于元素的符号，所以这个差是一个零矩阵，即：

A - A* = 0

换句话说，满秩矩阵A的伴随矩阵与其相等，除非在计算过程中考虑了行列式的符号变化。如果你有关于这方面的具体数学问题或者想要深入了解的点，请提问：

相关问题

伴随矩阵的秩与原矩阵的秩的关系

对于一个 $m\times n$ 的矩阵 $A$，其伴随矩阵 $A^*$ 是一个 $n\times m$ 的矩阵。则有以下结论：

1. 若 $A$ 是满秩矩阵，则 $A^*$ 也是满秩矩阵。

2. 若 $A$ 的秩为 $r$，则 $A^*$ 的秩也为 $r$。

这两个结论可以通过行列式的性质证明。对于第一个结论，由于 $A$ 是满秩矩阵，所以 $\det(A)\neq 0$。而根据伴随矩阵的定义可知，$\det(A)A^*=A^*A=\det(A)I$，其中 $I$ 是单位矩阵。因此，$\det(A^*)=\det(A)^{n-m}\neq 0$，即 $A^*$ 也是满秩矩阵。

对于第二个结论，由于 $A$ 的秩为 $r$，所以 $A$ 中有 $r$ 行（或列）线性无关。这些行（或列）可以组成一个 $r\times n$ 的矩阵 $B$，它的秩也为 $r$。而根据伴随矩阵的定义可知，$A^*$ 的每一行都是 $A$ 中某行的代数余子式，因此 $A^*$ 的行向量组成的矩阵 $C$ 与 $B$ 的秩相等。而 $A^*$ 的列向量组成的矩阵 $D$ 与 $A$ 的秩也相等。因此，$A^*$ 的秩为 $\operatorname{rank}(C)=\operatorname{rank}(B)=r$。

矩阵与伴随矩阵的秩的关系

矩阵的伴随矩阵是指将原矩阵的每个元素的代数余子式按照一定规律排列而得到的矩阵。矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

对于一个n阶方阵A，如果A的秩为r，则A的伴随矩阵的秩也为r。

这是因为伴随矩阵的每个元素都是原矩阵的代数余子式，而代数余子式是通过去掉原矩阵的某一行和某一列得到的。因此，原矩阵中的每个线性无关的行或列对应于伴随矩阵中的每个非零元素。所以，原矩阵中线性无关的行或列的最大个数与伴随矩阵中非零元素的个数相等，即秩相等。