如何证明n阶反对称矩阵组成n(n-1)/2维线性空间

首先，我们需要明确一个概念，即什么是反对称矩阵。一个$n$阶方阵$A$是反对称矩阵，当且仅当$A$满足以下性质：

1. $A$是方阵，即$n$行$n$列。
2. $A$的主对角线元素全部为$0$。
3. $A$的非主对角线元素满足：$a_{ij}=-a_{ji}$。

接下来，我们需要证明$n$阶反对称矩阵组成$n(n-1)/2$维线性空间。

我们可以将$n$阶反对称矩阵的元素分解为$n(n-1)/2$个独立的数。具体地，我们可以将$A$的下三角部分的元素(不包括主对角线)按照行的顺序依次排成一列，得到一个$n(n-1)/2$维向量，记为$\vec{a}$。例如，当$n=3$时，一个反对称矩阵可以表示为：

$$
\begin{pmatrix}
0 & a_{12} & a_{13} \\
-a_{12} & 0 & a_{23} \\
-a_{13} & -a_{23} & 0
\end{pmatrix}
$$

对应的向量为$\vec{a}=(a_{12},a_{13},a_{23})$。

接下来，我们需要证明$\vec{a}$构成一个线性空间。具体地，我们需要证明：

1. $\vec{0}\in V$。其中$\vec{0}$表示一个元素全部为$0$的向量。
2. 对于任意$\vec{a},\vec{b}\in V$，有$\vec{a}+\vec{b}\in V$。
3. 对于任意$\vec{a}\in V$和任意标量$k$，有$k\vec{a}\in V$。

显然，条件1和条件2都是成立的。对于条件3，我们可以将$k\vec{a}$表示为$k(a_{12},a_{13},a_{23})=(ka_{12},ka_{13},ka_{23})$，这是一个和$\vec{a}$同样形式的向量，因此也属于$V$。

因此，我们证明了$n$阶反对称矩阵组成$n(n-1)/2$维线性空间。