c++矩阵类求特征值特征向量

要求矩阵的特征值和特征向量，可以使用数值计算中的特征值分解方法。具体步骤如下：

1. 对于一个矩阵 A，求出其特征多项式 P(λ)，即 P(λ) = det(A - λI)，其中 I 是单位矩阵。

2. 求出 P(λ) 的根，即矩阵 A 的特征值 λ1, λ2, ..., λn。

3. 对于每个特征值 λi，求出其对应的特征向量 vi，即满足 Avi = λivi 的向量。

可以使用雅可比方法或QR分解方法求解矩阵的特征值和特征向量。其中，雅可比方法是一种迭代方法，可以得到所有特征值和特征向量，但收敛速度较慢；QR分解方法是一种直接方法，可以较快地得到部分特征值和特征向量，但不能保证得到所有特征值和特征向量。

下面是一个简单的 C++ 示例代码，使用 QR 分解方法求解矩阵的特征值和特征向量：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

const double EPSILON = 1e-12;  // 精度阈值

// 定义矩阵类
class Matrix {
public:
    Matrix(int rows, int cols) : rows(rows), cols(cols), data(rows * cols) {}
    double& operator()(int i, int j) { return data[i * cols + j]; }
    double operator()(int i, int j) const { return data[i * cols + j]; }
    int Rows() const { return rows; }
    int Cols() const { return cols; }
private:
    int rows, cols;
    vector<double> data;
};

// 计算矩阵 A 的 QR 分解，返回值为 Q 矩阵
Matrix qr_decomposition(const Matrix& A) {
    int n = A.Rows(), m = A.Cols();
    Matrix Q(n, m);
    Matrix R = A;

    for (int k = 0; k < m; ++k) {
        double norm = 0;
        for (int i = k; i < n; ++i) {
            norm = hypot(norm, R(i, k));
        }
        if (fabs(norm) < EPSILON) continue;

        double beta = -copysign(norm, R(k, k));
        double h = R(k, k) - beta;
        for (int j = k + 1; j < m; ++j) {
            double sum = 0;
            for (int i = k; i < n; ++i) {
                sum += R(i, k) * R(i, j);
            }
            double tau = sum / h;
            for (int i = k; i < n; ++i) {
                R(i, j) -= tau * R(i, k);
            }
        }
        for (int i = k; i < n; ++i) {
            R(i, k) /= beta;
        }
        R(k, k) += 1;

        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = k + 1; j < m; ++j) {
                double sum = 0;
                for (int l = k; l < n; ++l) {
                    sum += R(l, k) * Q(l, i);
                }
                Q(k, i) -= sum * R(k, j) / h;
            }
        }
    }

    return Q;
}

// 计算特征值和特征向量，返回值为特征值数组
vector<double> eigenvalues(const Matrix& A, Matrix& eigenvectors) {
    int n = A.Rows();

    // 迭代计算特征值和特征向量
    eigenvectors = Matrix(n, n);
    Matrix Q = qr_decomposition(A);
    Matrix Ak = Q;
    for (int k = 0; k < 100; ++k) {
        Matrix Qk = qr_decomposition(Ak);
        Ak = A * Qk;
        Q *= Qk;
    }

    // 提取特征值
    vector<double> eigenvalues(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        eigenvalues[i] = Ak(i, i);
    }

    // 计算特征向量
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        double norm = 0;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            norm = hypot(norm, Q(j, i));
        }
        if (fabs(norm) < EPSILON) continue;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            eigenvectors(j, i) = Q(j, i) / norm;
        }
    }

    return eigenvalues;
}

int main() {
    Matrix A(3, 3);
    A(0, 0) = 2; A(0, 1) = -1; A(0, 2) = 0;
    A(1, 0) = -1; A(1, 1) = 2; A(1, 2) = -1;
    A(2, 0) = 0; A(2, 1) = -1; A(2, 2) = 2;

    Matrix eigenvectors;
    vector<double> eigenvalues = eigenvalues(A, eigenvectors);

    cout << "Eigenvalues: ";
    for (double lambda : eigenvalues) {
        cout << lambda << " ";
    }
    cout << endl;

    cout << "Eigenvectors: " << endl;
    for (int i = 0; i < eigenvectors.Rows(); ++i) {
        for (int j = 0; j < eigenvectors.Cols(); ++j) {
            cout << eigenvectors(i, j) << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

该示例代码演示了如何使用 QR 分解方法求解矩阵的特征值和特征向量。对于一个 3x3 的矩阵 A，计算其特征值和特征向量，并输出结果。你可以根据需要修改矩阵 A 的值，或者使用其他方法进行计算。