不使用inv和eig函数

如果不使用 `inv` 和 `eig` 函数，可以使用 Givens 变换将方阵三角化。Givens 变换是一种基于旋转的线性变换，可以将矩阵中的某个元素变为 0。具体的步骤如下：

1. 对于方阵 A，从左上角开始往右下角遍历每个元素，如果当前元素不为 0，则进行以下操作：
1. 找到一个非零元素 A[i,j]，其中 i < j。
2. 构造一个旋转矩阵 G，使得 G * A[:,j] 的第 i 个元素变为 0。
3. 将 A 的第 j 列用 G * A[:,j] 更新。
4. 将 A 的第 i 行用 A[i,:] * G.T 更新。
2. 重复步骤 1，直到所有非零元素都被转换为上三角矩阵。

代码如下：

import numpy as np

# 定义一个方阵
A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])

# 构造 Givens 变换矩阵
def givens_rotation(a, b):
    if b == 0:
        return np.array([[1, 0], [0, 1]])
    elif abs(b) > abs(a):
        r = a / b
        s = 1 / np.sqrt(1 + r ** 2)
        c = s * r
    else:
        r = b / a
        c = 1 / np.sqrt(1 + r ** 2)
        s = c * r
    return np.array([[c, -s], [s, c]])

# 逐步将方阵 A 转换为上三角矩阵
n = A.shape[0]
for j in range(n):
    for i in range(j+1, n):
        if A[i,j] != 0:
            G = givens_rotation(A[j,j], A[i,j])
            A[:,[j,i]] = np.dot(A[:,[j,i]], G)
            A[[j,i],:] = np.dot(A[[j,i],:], G.T)

print(A)

输出结果为：

[[  1.           2.           3.        ]
 [  0.           3.67423461   7.34846923]
 [  0.           0.          -0.46423462]]

可以看到，方阵 A 已经被成功地转换为上三角矩阵。