用公式转换透视矩阵和外参矩阵怎么表达

透视矩阵和外参矩阵的公式表达如下：

透视矩阵：
\begin{bmatrix}
\frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\
0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0 \\
0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n} & -\frac{2fn}{f-n} \\
0 & 0 & -1 & 0
\end{bmatrix}

外参矩阵：
\begin{bmatrix}
r_{11} & r_{12} & r_{13} & t_{1} \\
r_{21} & r_{22} & r_{23} & t_{2} \\
r_{31} & r_{32} & r_{33} & t_{3} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

其中，透视矩阵描述了相机的内部参数，包括相机的焦距、视场大小、近平面和远平面的距离等。外参矩阵描述了相机的位置和朝向，包括相机的旋转矩阵和平移向量。通过将透视矩阵和外参矩阵相乘，可以得到相机的投影矩阵，用于将三维物体投影到二维平面上显示。

相关问题

shader中透视矩阵的逆矩阵怎么写

在计算机图形学中，特别是在Shader中处理投影，通常会涉及到透视投影矩阵（Perspective Matrix）。它的目的是将三维空间转换到二维屏幕上，给人一种深度感。透视矩阵通常是四元数矩阵，对于3D到2D的转换是非线性的，因此它本身是不可逆的。

然而，在一些特定场景下，比如在光照计算或者反向渲染（如阴影贴图）中，我们可能需要对投射后的变换进行近似逆操作。这种情况下，通常采用的是所谓的“伪逆”矩阵（Pseudo-Inverse），而不是真正意义上的逆矩阵。

在GLSL或HLSL这样的GPU编程语言中，计算矩阵的伪逆可以借助库函数或者第三方工具完成，例如`gluPerspectiveInverse()`在OpenGL的Math library里，或者自定义计算方法（如果GPU支持浮点运算且精度足够的话）。

以下是一个简化的伪逆计算例子：

// 假设perspectiveMatrix是一个4x4的透视矩阵
float4x4 inversePerspective = mat4(
    // 简化版的伪逆计算公式（仅示例）
    (perspectiveMatrix[0][0] + perspectiveMatrix[1][1]) / (perspectiveMatrix[0][0] - perspectiveMatrix[3][0]),
    (perspectiveMatrix[0][1] + perspectiveMatrix[1][1]) / (perspectiveMatrix[1][1] - perspectiveMatrix[3][1]),
    -(perspectiveMatrix[0][2] + perspectiveMatrix[1][2]) / (perspectiveMatrix[2][2] - perspectiveMatrix[3][2]),
    0.0,
    // ... 其他行类似
);

// 这只是一个近似逆，实际应用中可能需要更复杂的计算

请注意，这只是一个理论上的解释和简化示例，并非实际GPU编程中的完整代码。在实践中，使用GPU厂商提供的API更为推荐。

opencv 已知旋转向量和平移向量求透视矩阵

在OpenCV中，如果你已经有了旋转和平移的向量，你可以使用它们来构造一个透视变换矩阵。透视变换矩阵（Perspective Transformation Matrix）通常用于图像的缩放、旋转和裁剪等操作，特别是在摄像头校准或者二维图像转到三维场景的应用中。

首先，假设我们有旋转矩阵`R`，平移向量`T`（分别表示绕坐标轴的旋转和沿着坐标轴的移动），它们可以按照以下步骤转换成透视矩阵：

1. **旋转矩阵**（`3x3`）：它描述了图像的局部旋转，对于opencv，一般表示为一个`cv::Mat`对象。

2. **平移向量**（`3x1`）：它是一个列向量，包含在每个维度上的平移分量。

透视矩阵`P`（`3x4`）可以通过以下公式计算：

P = [ R | T ]

这里`|`代表行向量连接。前三个元素行构成旋转矩阵，第四个元素行则对应于平移向量。

例如，在OpenCV中，你可以这样做（假设`R`和`T`已经准备好了）：

cv::Mat R(3, 3, CV_64FC1, // 旋转矩阵
          ...); // 填入实际的旋转矩阵数据

cv::Vec3d T(// 平移向量
   ...,
   ...,
   ...);

cv::Mat P(3, 4, CV_64FC1);
cv::hconcat(R, T, P); // 使用hconcat函数将旋转和平移合并

现在，`P`就是你需要的透视矩阵，可以用来通过`cv::warpPerspective()`函数应用透视变换到其他图像上。