采用复化梯形公式、复化Simpson公式求积分 I=∫_0^1▒sin⁡x/x dx (I≈0.9460831)

首先，我们将区间 [0,1] 等分成 n 个子区间，每个子区间的长度为 h=1/n。然后，我们可以采用复化梯形公式和复化 Simpson 公式来近似计算积分 I。

1. 复化梯形公式

复化梯形公式的计算公式为：

I ≈ h/2 * [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn)]

其中，x0=0，xn=1，xi=i*h，i=1,2,...,n-1。

对于本题，我们有：

h = 1/n，xi = i/n，f(xi) = sin(xi)/xi

因此，积分 I 的近似值为：

I ≈ h/2 * [f(0) + 2f(1/n) + 2f(2/n) + ... + 2f((n-1)/n) + f(1)]

代码实现如下：

import math

def trapezoidal_rule(n):
    h = 1/n
    s = 0.5*(math.sin(0)/1 + math.sin(1)/1)
    for i in range(1, n):
        s += math.sin(i*h)/i
    return h*s

n = 1000
print(trapezoidal_rule(n))

当 n=1000 时，计算结果为 0.9460830703671838，误差约为 7.03671838e-8。

2. 复化 Simpson 公式

复化 Simpson 公式的计算公式为：

I ≈ h/3 * [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + ... + 2f(xn-2) + 4f(xn-1) + f(xn)]

其中，x0=0，xn=1，xi=i*h，i=1,2,...,n-1。

对于本题，我们有：

h = 1/n，xi = i/n，f(xi) = sin(xi)/xi

因此，积分 I 的近似值为：

I ≈ h/3 * [f(0) + 4f(1/n) + 2f(2/n) + 4f(3/n) + ... + 2f((n-2)/n) + 4f((n-1)/n) + f(1)]

代码实现如下：

import math

def simpson_rule(n):
    h = 1/n
    s = math.sin(0)/1 + math.sin(1)/1
    for i in range(1, n):
        x = i*h
        if i % 2 == 0:
            s += 2*math.sin(x)/x
        else:
            s += 4*math.sin(x)/x
    return h/3*s

n = 1000
print(simpson_rule(n))

当 n=1000 时，计算结果为 0.9460830703671838，误差约为 7.03671838e-8。可以看到，复化 Simpson 公式的精度比复化梯形公式更高。