构造满足条件： 𝑝(0) = 𝑝 ′ (0) = 0, 𝑝(4) = 𝑝 ′ (4) = 2 的插值多项式𝑝(𝑥)

根据条件，我们可以列出以下方程组：

$$\begin{cases}
p(0) = 0\\
p'(0) = 0\\
p(4) = 2\\
p'(4) = 2
\end{cases}$$

为了构造插值多项式，我们需要定义插值节点。由于我们有四个条件，自然地想到选择四个节点。我们可以选择 $x=0,1,3,4$ 这四个节点。

接下来，我们可以使用拉格朗日插值法来求出插值多项式 $p(x)$。首先，给出样条数据如下：

$$\begin{align*}
&x_0=0, \quad y_0=0\\
&x_1=1, \quad y_1=?\\
&x_2=3, \quad y_2=?\\
&x_3=4, \quad y_3=2
\end{align*}$$

我们需要求出 $y_1$ 和 $y_2$ 的值。根据等距节点差的一般形式，我们有

$$h = x_{i+1} - x_i = 1,\quad i=0,1,2$$

那么，我们可以写出拉格朗日基函数：

$$L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\j\ne i}}^{3}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

因此，我们可以写出插值多项式 $p(x)$：

$$\begin{aligned} & p(x)=L_0(x)y_0+L_1(x)y_1+L_2(x)y_2+L_3(x)y_3\\ =& \frac{1}{12}(4x^3-3x^4)y_1 -\frac{1}{8}(4x^3-9x^2+3x+2)y_2+ \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2\end{aligned}$$

接下来，我们可以利用 $p(0)=p'(0)=0$ 和 $p(4)=p'(4)=2$ 来解出 $y_1$ 和 $y_2$ 的值。具体地，我们有

$$\begin{aligned} & p(0) = 0 \quad\Rightarrow\quad y_0 = 0\\ & p'(0) = 0 \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{2}y_1 + \frac{1}{4}y_2 = 0\\ & p(4) = 2 \quad\Rightarrow\quad \frac{8}{3}y_1 - 2y_2 + 8 = 0\\ &p'(4) = 2 \quad\Rightarrow\quad \frac{2}{3}y_1 + \frac{3}{4}y_2 -\frac{1}{8} = 0 \end{aligned}$$

解出上述方程组，我们得到 $y_1=\frac{324}{53}$，$y_2=-\frac{684}{53}$。因此，我们所构造的满足条件的插值多项式为：

$$p(x) = \frac{1}{12}(4x^3-3x^4)\cdot\frac{324}{53}-\frac{1}{8}(4x^3-9x^2+3x+2)\cdot\frac{684}{53}+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2$$