三角形ABC是等腰直角三角形。角BAC=90度，BC=5cm，D是BC的中点，点P从A点出发，以2cm/s的速度沿着射线CA方向运动，连接PD交AB于点E，过点D作PD的垂线交直线AC于点F，交直线AB于点G。当运动时间为1.5秒时，BG等于多少

首先，我们可以通过勾股定理计算出三角形ABC的斜边AC的长度为 $AC = \sqrt{BC^2 + AB^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}$。

因为PD垂直于AF，所以$\angle APD = \angle AFD = 90^{\circ}$。

我们可以通过向量的方法求出向量 $\overrightarrow{AE}$ 和向量 $\overrightarrow{AD}$，然后计算出它们的夹角，再利用余弦定理计算出 $AE$ 的长度。

向量 $\overrightarrow{AD}$ 的坐标为 $(0, -\frac{5}{2})$，向量 $\overrightarrow{AP}$ 的坐标为 $(2t, 2t)$，其中 $t$ 为时间。

因此，向量 $\overrightarrow{AE}$ 的坐标为 $(2t, 2t - \frac{5}{2})$。

根据向量的点积公式，$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AE}|\cdot|\overrightarrow{AD}|\cdot\cos\angle EAD$。

解出 $\cos\angle EAD$ 后，再利用余弦定理计算 $AE$ 的长度。

$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AD} = (2t)\cdot0 + (2t - \frac{5}{2})\cdot(-\frac{5}{2}) = -\frac{25}{4}t + 25$

$|\overrightarrow{AE}| = \sqrt{(2t)^2 + (2t - \frac{5}{2})^2}$

$|\overrightarrow{AD}| = \frac{5}{2}$

$\cos\angle EAD = \frac{\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AE}|\cdot|\overrightarrow{AD}|} = \frac{-\frac{25}{4}t + 25}{\frac{5}{2}\sqrt{t^2 + (t-\frac{5}{4})^2}}$

$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{16}(1+\cos\angle EAD)^2}$

$AE = \frac{5}{4}\sqrt{17 + 16\cos\angle EAD}$

当 $t=1.5$ 时，$\cos\angle EAD = -\frac{1}{\sqrt{17}}$。

$AE = \frac{5}{4}\sqrt{17 - 16\sqrt{17}}$

现在我们来计算 $BG$ 的长度。

因为 $\triangle AGB \sim \triangle ACD$，所以 $\frac{BG}{AC} = \frac{AB}{AD}$。

$BG = \frac{AB\cdot AC}{AD} = \frac{5\cdot 5\sqrt{2}}{\frac{5}{2}} = 50\sqrt{2}$。

因此，当运动时间为1.5秒时，$BG$ 的长度为 $50\sqrt{2}$ 厘米。