增广矩阵的秩与原矩阵相同吗

增广矩阵的秩与原矩阵的秩可能相同，也可能不同。

如果原矩阵是一个方阵，那么增广矩阵的秩与原矩阵的秩一定相同。因为增广矩阵是由原矩阵和一个列向量组成，而这个列向量与原矩阵没有任何关系，所以增广矩阵的秩只受原矩阵的影响。

但是，如果原矩阵不是方阵，那么增广矩阵的秩可能大于、等于或小于原矩阵的秩。这取决于增广矩阵中的列向量是否与原矩阵的列向量线性相关。如果增广矩阵中的列向量与原矩阵的列向量线性无关，那么增广矩阵的秩就是原矩阵的秩加1；如果增广矩阵中的列向量与原矩阵的列向量线性相关，那么增广矩阵的秩就小于等于原矩阵的秩。

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增广矩阵的秩与原矩阵相同吗，详细说明并给出每种情况的具体实例

增广矩阵的秩与原矩阵的秩有可能相同，也有可能不同，具体情况取决于增广矩阵和原矩阵之间的关系。

情况一：增广矩阵中的最后一列不是原矩阵中任何一列的线性组合。此时，增广矩阵的秩等于原矩阵的秩加1。

例如，考虑以下矩阵：
$$
A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
$$
将矩阵 $A$ 增广为以下矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 0 \\
4 & 5 & 6 & 0\\
7 & 8 & 9 & 0
\end{bmatrix}
$$
可以发现，增广矩阵中的最后一列不是原矩阵中任何一列的线性组合，因此增广矩阵的秩为 $3+1=4$，原矩阵的秩为 $3$。

情况二：增广矩阵中的最后一列是原矩阵中某一列的线性组合。此时，增广矩阵的秩可能等于原矩阵的秩，也可能小于原矩阵的秩。

例如，考虑以下矩阵：
$$
A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
$$
将矩阵 $A$ 增广为以下矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 0 \\
4 & 5 & 6 & 0\\
3 & 6 & 9 & 0
\end{bmatrix}
$$
可以发现，增广矩阵中的最后一列是原矩阵中第一列和第二列的线性组合，因此增广矩阵的秩为 $3$，原矩阵的秩也为 $3$。

另外，如果增广矩阵是一个同阶数的方阵，那么增广矩阵的秩就是原矩阵的秩。

增广矩阵的秩小于原矩阵的具体实例

假设有以下矩阵A和其增广矩阵[A|B]：

A =
[1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]

[A|B] =
[1 2 3 | 4]
[4 5 6 | 7]
[7 8 9 | 10]

我们可以通过初等行变换将矩阵A转化为行最简形式：

[1 2 3]
[0 -3 -6]
[0 0 0]

由于矩阵A的某一行变为了0行，因此它的秩为2。而增广矩阵[A|B]也可以通过相同的初等行变换转化为行最简形式：

[1 2 3 | 4]
[0 -3 -6 | -9]
[0 0 0 | 0]

增广矩阵的秩为2，小于原矩阵的秩。