利用大M法和两阶段法求解 MinZ=4X1+2X2+3X3 X1+X2+2X3=5 5X1+X2+X3>=8 X1+2X2+X3>=3 X1,X2,X3>=0

首先，我们将约束条件转化为标准形式：

MaxZ = -4X1 - 2X2 - 3X3

s.t.

X1 + X2 + 2X3 = 5

-5X1 - X2 - X3 <= -8

-X1 - 2X2 - X3 <= -3

X1, X2, X3 >= 0

接下来，我们使用大M法求解。将约束条件中的不等式转化为等式，引入松弛变量和人工变量，得到以下形式：

MaxZ = -4X1 - 2X2 - 3X3 + M1 + M2

s.t.

X1 + X2 + 2X3 + S1 = 5

-5X1 - X2 - X3 - S2 + M1 = -8

-X1 - 2X2 - X3 - S3 + M2 = -3

X1, X2, X3, S1, S2, S3 >= 0

其中，M1和M2为人工变量，代表人工成本。

接下来，我们通过两阶段法求解。

第一阶段：解决人工问题

将目标函数改为求最小值，即 MinW = M1 + M2，求解以下线性规划问题：

MinW = M1 + M2

s.t.

-5X1 - X2 - X3 - S2 + M1 = -8

-X1 - 2X2 - X3 - S3 + M2 = -3

X1, X2, X3, S1, S2, S3, M1, M2 >= 0

通过单纯形法求解，得到最优解为W=11，此时M1=M2=0，说明原问题有可行解。

第二阶段：解决原问题

将目标函数改为原问题的目标函数，即 MaxZ = -4X1 - 2X2 - 3X3，求解以下线性规划问题：

MaxZ = -4X1 - 2X2 - 3X3

s.t.

X1 + X2 + 2X3 + S1 = 5

-5X1 - X2 - X3 - S2 <= -8

-X1 - 2X2 - X3 - S3 <= -3

X1, X2, X3, S1, S2, S3 >= 0

通过单纯形法求解，得到最优解为Z=14，此时X1=2, X2=0, X3=1，满足所有约束条件。

因此，最优解为Z=14，X1=2，X2=0，X3=1。