数学物理方程中，已知一道定解问题的标准型，求它的通解

对于定解问题的标准型，我们可以先求出其对应的齐次方程的通解，再利用常数变易法求出其非齐次方程的一个特解，将齐次通解与特解相加即得到非齐次方程的通解。以下以一阶常系数线性非齐次微分方程为例进行说明。

设一阶常系数线性非齐次微分方程为：

$$
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)
$$

对应的齐次方程为：

$$
\frac{dy}{dx}+p(x)y=0
$$

其通解为：

$$
y_1(x)=Ce^{-\int p(x)dx}
$$

其中$C$为任意常数。

设非齐次方程的一个特解为：

$$
y_2(x)=u(x)v(x)
$$

其中$u(x),v(x)$为待定函数。将$y_2(x)$代入非齐次方程，得到：

$$
\frac{dy_2}{dx}+p(x)y_2=u(x)\frac{dv}{dx}v+u(x)v\frac{dv}{dx}+p(x)u(x)v^2=q(x)
$$

化简得：

$$
u(x)\frac{dv}{dx}v+u(x)v\frac{dv}{dx}=(q(x)-p(x)u(x)v^2)/v
$$

令：

$$
\frac{dv}{dx}/v=W(x)
$$

则：

$$
\frac{du}{dx}+p(x)u=\frac{q(x)}{v}W(x)
$$

求解上述一阶常系数线性齐次微分方程，得到：

$$
u(x)=e^{-\int p(x)dx}\int q(x)e^{\int p(x)dx}W(x)dx
$$

将$u(x)$代入$y_2(x)$，得到非齐次方程的一个特解：

$$
y_2(x)=e^{-\int p(x)dx}\int q(x)e^{\int p(x)dx}W(x)dx\cdot v(x)
$$

将齐次通解与特解相加，即可得到非齐次方程的通解：

$$
y(x)=y_1(x)+y_2(x)=Ce^{-\int p(x)dx}+e^{-\int p(x)dx}\int q(x)e^{\int p(x)dx}W(x)dx\cdot v(x)
$$

其中$C$为任意常数，$v(x)$为特解中的待定函数。