数学物理方程中,已知一道定解问题的标准型,求它的通解
时间: 2024-03-29 09:35:03 浏览: 87
对于定解问题的标准型,我们可以先求出其对应的齐次方程的通解,再利用常数变易法求出其非齐次方程的一个特解,将齐次通解与特解相加即得到非齐次方程的通解。以下以一阶常系数线性非齐次微分方程为例进行说明。
设一阶常系数线性非齐次微分方程为:
$$
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)
$$
对应的齐次方程为:
$$
\frac{dy}{dx}+p(x)y=0
$$
其通解为:
$$
y_1(x)=Ce^{-\int p(x)dx}
$$
其中$C$为任意常数。
设非齐次方程的一个特解为:
$$
y_2(x)=u(x)v(x)
$$
其中$u(x),v(x)$为待定函数。将$y_2(x)$代入非齐次方程,得到:
$$
\frac{dy_2}{dx}+p(x)y_2=u(x)\frac{dv}{dx}v+u(x)v\frac{dv}{dx}+p(x)u(x)v^2=q(x)
$$
化简得:
$$
u(x)\frac{dv}{dx}v+u(x)v\frac{dv}{dx}=(q(x)-p(x)u(x)v^2)/v
$$
令:
$$
\frac{dv}{dx}/v=W(x)
$$
则:
$$
\frac{du}{dx}+p(x)u=\frac{q(x)}{v}W(x)
$$
求解上述一阶常系数线性齐次微分方程,得到:
$$
u(x)=e^{-\int p(x)dx}\int q(x)e^{\int p(x)dx}W(x)dx
$$
将$u(x)$代入$y_2(x)$,得到非齐次方程的一个特解:
$$
y_2(x)=e^{-\int p(x)dx}\int q(x)e^{\int p(x)dx}W(x)dx\cdot v(x)
$$
将齐次通解与特解相加,即可得到非齐次方程的通解:
$$
y(x)=y_1(x)+y_2(x)=Ce^{-\int p(x)dx}+e^{-\int p(x)dx}\int q(x)e^{\int p(x)dx}W(x)dx\cdot v(x)
$$
其中$C$为任意常数,$v(x)$为特解中的待定函数。
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