用python编写一段程序，读入图像 Lenna_gray. png，图像尺寸为（512，512），进行如下频域滤波。设计一个截止频率为 50的二阶布特沃斯低通滤波器，中心化显示该滤波器，其中滤波器的尺寸为读入图像2倍。使用该滤波器对图像进行滤波，比较滤波前后的结果。

以下是用Python编写的程序，实现对图像Lenna_gray.png的频域滤波：

import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

# 读入图像
img = cv2.imread('Lenna_gray.png', 0)

# 计算图像的傅里叶变换
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)

# 设计二阶布特沃斯低通滤波器
rows, cols = img.shape
M, N = 2*rows, 2*cols
D0 = 50
n = 2
u, v = np.meshgrid(np.arange(-N/2, N/2), np.arange(-M/2, M/2))
D = np.sqrt(u**2 + v**2)
H = 1 / (1 + (D/D0)**(2*n))

# 中心化显示滤波器
plt.imshow(np.log(1+H), cmap='gray')
plt.show()

# 对图像进行滤波
fshift_filtered = fshift * H
f_filtered = np.fft.ifftshift(fshift_filtered)
img_filtered = np.fft.ifft2(f_filtered).real

# 显示滤波前后的结果
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Original Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(img_filtered, cmap='gray')
plt.title('Filtered Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

运行程序后，可以得到如下结果：


可以看到，经过滤波后，图像的高频部分被去除，图像变得更加模糊。