已知一串数字1,2,3,4,5,6,7可以不连续进栈出栈,求第4个出栈的数字可能是几?
时间: 2023-06-10 11:08:07 浏览: 51
这是一个经典的栈的排列组合问题。我们可以使用卡特兰数来求解。
假设有n个数字,要求第k个出栈的数字,那么卡特兰数的公式为:
C(n) = C(0)*C(n-1) + C(1)*C(n-2) + ... + C(n-1)*C(0)
其中C(0)=1,C(n)表示n个数字的出栈序列个数。
对于本题,n=7,根据上述公式可以计算出C(7)=429。
因此,第4个出栈的数字可能是第429/2=214个出栈序列的第4个数字。
具体方法为:先确定第一个出栈的数字,可以选择1到7中的任意一个数字,假设选择了数字i,那么剩下的数字可以分成两部分:比i小的数字和比i大的数字。因为这些数字可以不连续进栈出栈,所以比i小的数字和比i大的数字之间的顺序可以交错。比如,如果i=3,那么剩下的数字可以为2,1,4,5,6,7,也可以为2,4,1,5,7,6等等。
假设比i小的数字有x个,比i大的数字有y个,那么第一个出栈的数字是确定的,就是i。剩下的数字可以任意排列,不妨设它们的出栈序列个数为f(x,y)。
那么第k个出栈的数字必然是第214个出栈序列的第4个数字,所以我们只需要找到一个(x,y)的组合,满足f(x,y)>=4,且f(x,y)的排列组合数之和大于等于214/2=107,就可以确定第4个出栈的数字。
根据卡特兰数的公式,可以递归地计算出f(x,y)的值,具体方法为:
f(x,y) = C(x+y,x) - C(x+y,x-1)
其中C(x+y,x)表示x个比i小的数字和y个比i大的数字的出栈序列个数。
因此,我们可以从小到大枚举x和y,计算f(x,y)的值,直到找到一个满足条件的组合为止。在这个过程中,需要记录已经计算出的f(x,y)的排列组合数之和,以便快速判断是否满足条件。