拟牛顿法算法matlab

以下是一个简单的拟牛顿法的 MATLAB 实现：

function [x, fval, exitflag] = quasi_newton(f, x0, max_iter, tol)
% f: 目标函数
% x0: 初始点
% max_iter: 最大迭代次数
% tol: 容差

% 初始化
n = length(x0);
H = eye(n);
x = x0;
fval = f(x);
iter = 0;
exitflag = 0;
grad = gradient(f, x);

% 迭代
while iter < max_iter
    p = -H * grad;
    alpha = backtracking(f, x, p, grad);
    x_new = x + alpha * p;
    s = x_new - x;
    y = gradient(f, x_new) - grad;
    if norm(s) < tol || norm(y) < tol
        exitflag = 1;
        break;
    end
    H = H + (y - H * s) * s' / (s' * s);
    x = x_new;
    fval = f(x);
    grad = gradient(f, x);
    iter = iter + 1;
end

end

function [alpha] = backtracking(f, x, p, grad)
% 回溯线搜索
alpha = 1;
beta = 0.5;
c = 0.1;
while f(x + alpha * p) > f(x) + c * alpha * grad' * p
    alpha = beta * alpha;
end
end

function [grad] = gradient(f, x)
% 梯度计算
eps = 1e-8;
n = length(x);
grad = zeros(n, 1);
for i = 1:n
    x1 = x;
    x1(i) = x1(i) + eps;
    grad(i) = (f(x1) - f(x)) / eps;
end
end

这个实现使用了回溯线搜索来确定步长，使用了一种简单的梯度计算方法，只是简单地使用了有限差分来计算梯度。在实际应用中，通常需要更高效的梯度计算方法。