设在一个环上排列这n个互不相同的数。设计一个比较次数尽可能少的算法,寻找环上的一个极小值(即比左右两个相邻的数都小的数),请写出你设计算法的详细的证明过程,和一个具体例子的执行过程
时间: 2023-04-05 22:01:18 浏览: 89
感谢您的问题。根据您的描述,我可以回答这个问题。
对于这个问题,我可以提供以下算法:
1. 将环上的数按顺序编号为1到n。
2. 设定两个指针,一个指向第一个数,一个指向最后一个数。
3. 比较中间数和它左右两个数的大小关系。
4. 如果中间数比左右两个数都小,则找到了极小值,算法结束。
5. 如果中间数比左边的数大,则极小值在中间数的右边,将左指针移动到中间数的右边。
6. 如果中间数比右边的数大,则极小值在中间数的左边,将右指针移动到中间数的左边。
7. 重复步骤3到6,直到找到极小值。
这个算法的比较次数为O(log n),证明过程如下:
假设n=2^k,那么在第一次比较后,问题被分成了两个规模为2^(k-1)的子问题。在第二次比较后,问题被分成了四个规模为2^(k-2)的子问题。以此类推,直到问题被分成了n个规模为1的子问题。因此,总共需要进行log n次比较。
下面是一个具体例子的执行过程:
假设环上的数为{5, 8, 10, 12, 3}。
1. 将数按顺序编号为1到5。
2. 设定左指针为1,右指针为5。
3. 中间数为第三个数10,比较10和它左右两个数的大小关系。
4. 10比左边的数8大,将左指针移动到10的右边。
5. 中间数为第四个数12,比较12和它左右两个数的大小关系。
6. 12比右边的数3大,将右指针移动到12的左边。
7. 中间数为第二个数8,比较8和它左右两个数的大小关系。
8. 8比左边的数5大,将左指针移动到8的右边。
9. 中间数为第三个数10,比较10和它左右两个数的大小关系。
10. 10比左右两个数都小,找到了极小值,算法结束。
希望我的回答能够帮助您。
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