矩阵的乘法满足结合律吗
时间: 2023-11-26 11:52:55 浏览: 62
矩阵的乘法不满足结合律。结合律是指对于任意三个矩阵 A、B 和 C,都有 (A*B)*C = A*(B*C)。但是,对于矩阵乘法来说,这个等式并不一定成立。
举个例子,设矩阵 A、B 和 C 的大小都为 n×n,且:
A = B = C = [1, 0; 1, 1]
则有:
(A*B)*C = ([1, 0; 1, 1] * [1, 0; 1, 1]) * [1, 0; 1, 1] = [1, 0; 2, 1] * [1, 0; 1, 1] = [1, 0; 3, 1]
A*(B*C) = [1, 0; 1, 1] * ([1, 0; 1, 1] * [1, 0; 1, 1]) = [1, 0; 1, 1] * [1, 0; 2, 1] = [1, 0; 2, 1]
可以看出,(A*B)*C ≠ A*(B*C),因此矩阵乘法不满足结合律。
相关问题
矩阵乘法结合律的特点是什么特点,有什么定义?
矩阵乘法结合律是指对于三个矩阵A、B和C,满足(A*B)*C = A*(B*C)。换句话说,无论是先将B和C相乘,再将结果与A相乘,还是先将A和B相乘,再将结果与C相乘,最终得到的结果都是相同的。
该结合律的定义是矩阵乘法的一个基本性质,它保证了在矩阵乘法中进行括号的分组时,不会影响最终的结果。因此,在进行多个矩阵相乘时,可以根据需要进行括号的调整,而不会改变最后的结果。这种特性在矩阵计算和应用中非常重要。
为什么由矩阵乘法的结合律可得: D = D(I) = D(CD) = (DC)D = ID = D,就能得出矩阵D是可逆的
根据矩阵乘法的结合律,我们可以得到:
D = D(I) = D(CD) = (DC)D = ID = D
其中,D(I)表示D乘以单位矩阵I,CD表示矩阵C乘以矩阵D,(DC)表示矩阵D乘以矩阵C。
我们可以将上述等式简化为:
D(I-CD) = 0
或者:
(I-CD)D = 0
如果矩阵D是可逆的,那么它的逆矩阵D^-1存在,我们可以对上式两边同时左乘D^-1,得到:
D^-1(I-CD)D = 0
或者:
(I-CD) = 0
这意味着矩阵I减去矩阵CD等于零矩阵。由于矩阵C和D是已知的,我们可以推出矩阵I是可逆的。因此,根据矩阵乘法的结合律,我们得出结论,矩阵D是可逆的。
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