构造平衡二叉树，关键字序列为12,7,17,11,16,2,13,9,21,4

构造平衡二叉树的主要思路是将关键字序列按照从小到大的顺序插入到二叉查找树中，然后通过旋转操作使树保持平衡。具体步骤如下：

1. 将第一个关键字12插入到根节点。
2. 将第二个关键字7插入到根节点的左子树中。
3. 将第三个关键字17插入到根节点的右子树中。
4. 将第四个关键字11插入到节点7的右子树中。
5. 将第五个关键字16插入到节点17的左子树中。
6. 将第六个关键字2插入到节点7的左子树中。
7. 将第七个关键字13插入到节点17的右子树中。
8. 将第八个关键字9插入到节点11的左子树中。
9. 将第九个关键字21插入到节点16的右子树中。
10. 将第十个关键字4插入到节点2的右子树中。

最终构造的平衡二叉树如下图所示：

         12
       /    \
      7      17
     / \    /  \
    2  11  13  21
       / \
      9  16
     /
    4

相关问题

. 已知关键字序列为{2,7,4,3,1,9,10,5,6,8}，采用堆排序法对该序列作升序排序时，构造的初始堆是什么？为什么

### 回答1：
采用堆排序法对该序列作升序排序时，构造的初始堆为一个最小堆。堆排序算法的第一步是将原序列构建成一个最小堆，然后将堆顶元素（即最小元素）与堆的最后一个元素交换，然后重新调整堆的结构，使得剩余元素仍然构成最小堆。重复执行此过程，直到所有元素都被排序完毕。

对于给定的关键字序列{2,7,4,3,1,9,10,5,6,8}，构造最小堆的过程如下：

1. 将第一个元素 2 插入堆中，此时堆为空，2成为堆顶元素。
2. 将第二个元素 7 插入堆中，7与2比较，不满足最小堆的性质，需要交换位置，此时堆中元素为{7,2}，2成为堆顶元素。
3. 将第三个元素 4 插入堆中，4与2比较，不满足最小堆的性质，需要交换位置，此时堆中元素为{4,7,2}，2成为堆顶元素。
4. 将第四个元素 3 插入堆中，3与2比较，不满足最小堆的性质，需要交换位置，此时堆中元素为{3,7,2,4}，2成为堆顶元素。
5. 将第五个元素 1 插入堆中，1与2比较，满足最小堆的性质，不需要交换位置，此时堆中元素为{1,3,2,4,7}，1成为堆顶元素。
6. 将第六个元素 9 插入堆中，9与1比较，不满足最小堆的性质，需要交换位置，此时堆中元素为{2,3,9,4,7,1}，1成为堆顶元素。
7. 将第七个元素 10 插入堆中，10与1比较，不满足最小堆的性质，需要交换位置，此时堆中元素为{1,3,9,4,7,10,2}，1成为堆顶元素。
8. 将第八个元素 5 插入堆中，5与1比较，满足最小堆的性质，不需要交换位置，此时堆中元素为{1,3,5,4,7,10,2,9}，1成为堆顶元素。
9. 将第九个元素 6 插入堆中，6与1比较，满足最小堆的性质，不需要交换位置，此时堆中元素为{1,3,5,4,7,10,2,9,6}，1成为堆顶元素。
10. 将最后一个元素 8 插入堆中，8与1比较，满足最小堆的性质，不需要交换位置，此时堆中元素为{1,3,5,4,7,10,2,9,6,8}，1成为堆顶元素。

最终得到的最小堆为{1,3,5,4,7,10,2,9,6,8}。

### 回答2：
堆排序法是一种基于二叉堆结构的排序算法。在堆排序中，首先需要构建一个最大堆（或最小堆），然后将堆顶元素与堆的最后一个元素进行交换，并调整剩余元素使其满足堆的性质，重复此过程直到堆为空，最终得到一个升序排序的序列。

对于给定的关键字序列{2,7,4,3,1,9,10,5,6,8}，采用堆排序法时，构造的初始堆为最大堆。最大堆是以数组表示的完全二叉树，满足父节点的关键字大于或等于其孩子节点的关键字。

构造最大堆的过程如下：
1. 将关键字序列依次插入最大堆中，并保持堆的性质。
初始时，堆为空，开始插入关键字。首先将2插入堆中，此时堆中只有2一个元素，无需进行调整。然后将7插入堆中，此时7的父节点为2，关键字大于父节点，需要将7与2进行交换。交换后堆的结构为{7,2}，满足最大堆的性质。依次类推，将4,3,1,9,10,5,6,8插入堆中，并调整堆的结构。

2. 调整堆的结构，使其满足最大堆的性质。
从最后一个非叶子节点开始，依次向上调整每个节点，确保该节点与其子树满足最大堆的性质。在本例中，最后一个非叶子节点是父节点为2的节点。通过调整，得到最大堆的结构。

最终构造的初始堆为{10,8,9,6,7,4,5,2,3,1}。其中，堆顶元素为10，是堆中的最大元素。

构造初始堆时，首先将关键字序列依次插入堆中，保持堆的性质。然后通过调整堆的结构，确保父节点的关键字大于或等于其孩子节点的关键字。这样得到的堆满足最大堆的性质，可以进行堆排序。

### 回答3：
使用堆排序法对该序列进行升序排序时，构造的初始堆是最大堆。

最大堆是一种完全二叉树，其中任意一个父节点的值都大于（或等于）其左右孩子节点的值。根据堆排序的特性，需要构建一个初始的最大堆，才能正确进行排序。

首先将给定的关键字序列{2,7,4,3,1,9,10,5,6,8}依次插入空堆中，插入的顺序是从左至右，从上至下。
第一个元素2为根节点，插入后依次为：{2}。

第二个元素7大于2，插入后调整堆的结构，调整后的堆为：{7,2}。

第三个元素4小于7，插入后调整堆的结构，调整后的堆为：{7,2,4}。

第四个元素3小于7，插入后调整堆的结构，调整后的堆为：{7,2,4,3}。

第五个元素1小于7，插入后调整堆的结构，调整后的堆为：{7,2,4,3,1}。

第六个元素9大于所有已有元素，插入后调整堆的结构，调整后的堆为：{9,7,4,3,1,2}。

第七个元素10大于所有已有元素，插入后调整堆的结构，调整后的堆为：{10,9,4,7,1,2,3}。

依次类推，直至将所有的关键字插入堆中，最终构造的初始堆为：{10,9,4,7,1,2,3,5,6,8}。

因此，在使用堆排序法对给定序列进行升序排序时，构造的初始堆是{10,9,4,7,1,2,3,5,6,8}，它是一个最大堆。

. 已知关键字序列为{2,7,4,3,1,9,10,5,6,8}，采用堆排序法对该序列作升序排序时，构造的大根堆是？为什么？

在堆排序算法中，我们需要先构造一个大根堆，然后每次取出堆顶元素（即最大值），将其放到数组的末尾，然后将剩余的元素重新构造成一个大根堆。重复这个过程直到所有元素都被取出。

对于给定的关键字序列{2,7,4,3,1,9,10,5,6,8}，我们可以通过以下步骤构造大根堆：

1. 将序列转化为完全二叉树：

2
/ \
7 4
/ \ / \
3 1 9 10
/ \ /
5 6 8

2. 从最后一个非叶子节点开始，依次向上调整每个节点，使得以该节点为根节点的子树成为大根堆。最后一个非叶子节点是节点7，因此我们需要依次向上调整节点7、节点4和节点2。

调整节点7：

2
/ \
7 4
/ \ / \
3 1 10 9 -> 2, 7, 10, 3, 1, 4, 9, 5, 6, 8
/ \ /
5 6 8

调整节点4：

2
/ \
10 7
/ \ / \
3 1 9 4 -> 2, 10, 9, 3, 1, 7, 4, 5, 6, 8
/ \ /
5 6 8

调整节点2：

10
/ \
5 9
/ \ / \
3 1 7 4 -> 10, 5, 9, 3, 1, 7, 4, 2, 6, 8
/ \ /
2 6 8

最终得到的大根堆是{10, 5, 9, 3, 1, 7, 4, 2, 6, 8}。这个堆满足以下性质：

1. 对于任意节点i，其父节点的值大于等于i的值。
2. 对于任意节点i，其左子节点的值小于等于i的值，右子节点的值小于等于i的值。

堆排序算法的核心思想就是不断取出堆顶元素，并将剩余的元素重新构造成一个大根堆，直到所有元素都被取出。在本例中，我们需要按照升序排列，因此每次取出堆顶元素时都需要将其放到数组的末尾。最终得到的有序序列是{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}。