球形金属腔所带电荷为Q>0，内半径为a，外半径为b，腔内距球心O为r处有一点电荷q，求金属球腔上电荷的分布及O点的电势（无穷远处电势为零）。

根据高斯定理，球形金属腔内部电场为零，因此球腔上的电荷分布是均匀的，并且电荷密度可以表示为$\sigma=\frac{Q}{4\pi(b^2-a^2)}$。

由于点电荷q在球腔内部，它不会对球腔上的电荷分布产生影响，因此O点的电势可以通过球形金属腔带电荷的电势求得。根据电势公式，O点的电势为：

$\begin{aligned} V_O&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\text{球腔}}\frac{\sigma}{r}dS\\ &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{a}^{b}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\sigma}{r}r^2\sin\theta d\phi d\theta dr\\ &=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\int_{a}^{b}\frac{dr}{r(b^2-a^2)}\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta\int_{0}^{2\pi}d\phi\\ &=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\ln\frac{b}{a} \end{aligned}$

因此，球腔上的电荷分布为均匀分布，电荷密度为$\sigma=\frac{Q}{4\pi(b^2-a^2)}$，O点的电势为$V_O=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\ln\frac{b}{a}$。

相关问题

半径为R，相对电容率为∈r的介质球体，电荷量为Q，电荷体密度分布为p=kr**2,式中r为距球心的距离，求所诉带点球体内外的静电场能量 C

根据高斯定理，球内外的电场能量可以表示为：

W = (1/2) * ∫E * D * dV

其中，E为电场强度，D为电位移矢量，dV为体积元素。

对于球内部，由于电荷是均匀分布的，可以使用球壳定理求解电场强度。具体来说，根据球壳定理，球内部电场强度为0。

因此，球内部的电场能量为0。

对于球外部，可以使用库伦定律求解电场强度。具体来说，球外部的电场强度为：

E = k * Q / r^2

其中，k为库伦常数，Q为球体带电量，r为距球心的距离。

因此，在球外部，电场能量为：

W = (1/2) * ∫E * D * dV
= (1/2) * ∫(∈r * E^2) * dV
= (1/2) * ∫(∈r * k^2 * Q^2 / r^4) * 4πr^2 * dr
= 2π∈r * k^2 * Q^2 * ∫(1/r^2) * dr (积分限为R到无穷大)
= 2π∈r * k^2 * Q^2 / R

因此，所求的带点球体内外的静电场能量为2π∈r * k^2 * Q^2 / R。

真空中有一均匀带电球壳，其上总带电量为-q，半径为R。球心处是一点电荷+q。求球壳内、外的场强E分布和电势U分布（选取无限远为零电势点）。

根据高斯定理，球壳内、外的场强E分布都是零。因此，球壳内、外的电势U分布只取决于球心处的电荷和球壳上的总带电量。

对于无限远处的零电势点，球壳内、外的电势U分布可以分别表示为：

球壳内：
U(r) = k * (q / R) * (3R^2 - r^2) / 2

球壳外：
U(r) = k * q / r

其中，k为库仑常量，r为点P到球心的距离。

需要注意的是，由于球壳是一个导体，其内部电场为零，因此球壳内的电势分布是一个二次函数。在球壳内部，电势随着距离的增加而逐渐降低，直到达到最低点（即球心处）。

在球壳外部，电势随着距离的增加而逐渐降低，但是降低的速率比球壳内部快得多，因为球壳外部的电场强度与点电荷+q产生的电场强度相同，都是kq/r^2。因此，球壳外部的电势分布是一个单次函数。