半径为R，相对电容率为∈r的介质球体，电荷量为Q电荷体密度分布为ρ=kr2，式中r为距离球心的距离，求所述带电球体内外的静电场能量

根据高斯定理，球体内外的电场强度分别为：

球体外：
$$
E_{out} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}
$$

球体内：
$$
E_{in} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Qr}{R^3 \varepsilon_r} \cdot r
$$

其中，$\varepsilon_0$为真空介电常数，$\varepsilon_r$为相对电容率。

由于电场能量密度为$u=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$，因此球体内外的静电场能量分别为：

球体外：
$$
W_{out} = \int_{R}^{\infty} u_{out} \cdot 4\pi r^2 dr = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\cdot\frac{Q^2}{R}
$$

球体内：
$$
W_{in} = \int_{0}^{R} u_{in} \cdot 4\pi r^2 dr = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\cdot\frac{Q^2}{2R} \cdot \frac{3\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}
$$

其中，$W_{out}$表示球体外的静电场能量，$W_{in}$表示球体内的静电场能量。

相关问题

设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度在球体内部为kr，在球体外部为零。k是常量。怎么用电场叠加原理求出场强E和r的函数关系是

根据电场叠加原理，球内外电场可以分别计算。球内电场由球内电荷产生，球外电场由球外电荷产生。

球内电场的计算：

根据高斯定理，球内的电场强度E与球内电荷量q的关系为E = q / (4πε0r^2)，其中ε0为真空介电常数。

球内电荷量q = 球内电荷密度 * 球内电荷体积 = kr * (4/3)πr^3

将q代入上式得到球内电场强度E = (3kr/ε0) * r

球外电场的计算：

球外电场由球内电荷在球心处产生的电场和球外均匀分布电荷在任意一点处产生的电场叠加得到。

球心处的电场强度为 E0 = k / (4πε0R^2)

球外均匀分布电荷在任意一点处产生的电场强度为 E1 = k / (4πε0r^2)

故球外总电场强度为 E = E0 + E1 = k / (4πε0R^2) + k / (4πε0r^2)

将以上两个结果组合在一起，得到电场强度E与r的函数关系为：

E = {3kr/ε0 * r (r<R)
k / (4πε0R^2) + k / (4πε0r^2) (r≥R)}

木质球体浸入水中深度问题。假若球体是由密度为ρ=0.638且半径为r=10cm 的长叶松

根据阿基米德原理，木质球体浸入水中的深度取决于球体的体积和木材密度与水的密度之间的差异。木材的密度ρ=0.638，水的密度为1。球体的体积可以用球体体积公式来计算：V=4/3πr³=4/3×3.14×10³=4188.79cm³。

根据阿基米德原理，当木质球完全浸入液体中时，它受到浮力的大小等于所排开的液体的重量，等于木球的体积乘以液体的密度乘以重力加速度。所以浮力F=V×ρ_liquid×g=4188.79×1×9.8=41020.8N。

球体的重力等于其质量乘以重力加速度，质量可以用密度和体积来计算：m=ρV=0.638×4188.79=2671.4g=2.6714kg。

所以球的重力F=mg=2.6714×9.8=26.2N。

球体受到的浮力等于其重力，所以球体完全浸入水中时的深度会使得球体受到的浮力等于其重力，而这个深度会随着球体浸入的深度而增加，所以需要用积分的方法来计算。但考虑到木质的密度和形状可能会有变化，最精确的方法是将木质球放入水中并测量其实际浸入的深度。