半径为R,相对电容率为∈r的介质球体,电荷量为Q电荷体密度分布为ρ=kr2,式中r为距离球心的距离,求所述带电球体内外的静电场能量
时间: 2023-12-06 11:40:22 浏览: 37
根据高斯定理,球体内外的电场强度分别为:
球体外:
$$
E_{out} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}
$$
球体内:
$$
E_{in} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Qr}{R^3 \varepsilon_r} \cdot r
$$
其中,$\varepsilon_0$为真空介电常数,$\varepsilon_r$为相对电容率。
由于电场能量密度为$u=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$,因此球体内外的静电场能量分别为:
球体外:
$$
W_{out} = \int_{R}^{\infty} u_{out} \cdot 4\pi r^2 dr = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\cdot\frac{Q^2}{R}
$$
球体内:
$$
W_{in} = \int_{0}^{R} u_{in} \cdot 4\pi r^2 dr = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\cdot\frac{Q^2}{2R} \cdot \frac{3\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}
$$
其中,$W_{out}$表示球体外的静电场能量,$W_{in}$表示球体内的静电场能量。