设星形线方程为 x=acos3t y=asin3t 则它所围成的面积A为多少,它的弧长L为多少,它绕x轴旋转而生成的旋转体体积V为多少,该旋转体的侧面积 S等于多少
时间: 2024-05-30 21:08:28 浏览: 37
首先,给定星形线方程为 $x = a\cos 3t,\ y = a\sin 3t$,其中 $a$ 为常数。
1. 求面积:
由于星形线方程是极坐标方程,因此可以使用极坐标下的面积公式计算:
$$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (r(\theta))^2 d\theta$$
其中,$r(\theta)$ 是星形线方程对应的极径,即 $r(\theta) = a$。
带入公式,得到:
$$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} a^2 d\theta = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot 2\pi = \pi a^2$$
因此,星形线所围成的面积为 $\pi a^2$。
2. 求弧长:
同样地,可以使用极坐标下的弧长公式计算:
$$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(r(\theta))^2 + (r'(\theta))^2} d\theta$$
其中,$r'(\theta)$ 是星形线方程对应的极径的导数,即 $r'(\theta) = -3a\sin 3t$。
带入公式,得到:
$$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2 + 9a^2\sin^2 3t} dt$$
这个积分比较复杂,需要使用椭圆积分求解。最终结果为:
$$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2 + 9a^2\sin^2 3t} dt = \frac{4a}{3} E\left(\frac{1}{2}\right)$$
其中,$E(\frac{1}{2})$ 是第二类椭圆积分,其近似值为 $1.350643$。因此,星形线的弧长为 $\frac{4a}{3} E\left(\frac{1}{2}\right)$。
3. 求旋转体体积:
将星形线绕 $x$ 轴旋转一周,得到的旋转体是一个旋转半径为 $y$ 的圆柱体。因此,可以使用圆柱体的体积公式计算旋转体的体积:
$$V = \pi \int_{-a}^{a} y^2 dx$$
将 $x$ 和 $y$ 用 $t$ 表示,得到:
$$V = \pi \int_{0}^{2\pi} (a\sin 3t)^2 (3a\cos 3t) dt = \frac{4\pi}{9}a^3$$
因此,星形线绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体体积为 $\frac{4\pi}{9}a^3$。
4. 求侧面积:
旋转体的侧面积可以通过将旋转体展开成一个矩形再减去两个圆的面积来计算。具体来说,可以先计算旋转体的高度 $h$ 和底边长 $l$,然后用 $2lh + 2\pi a^2$ 计算侧面积。
旋转体的高度等于星形线的弧长,即:
$$h = \frac{4a}{3} E\left(\frac{1}{2}\right)$$
旋转体的底边长等于星形线的周长,即:
$$l = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt$$
其中,$x'(t)$ 和 $y'(t)$ 分别是星形线方程对应的横坐标和纵坐标的导数。带入公式,得到:
$$l = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(3a\cos 3t)^2 + (3a\sin 3t)^2} dt = 6a\pi$$
因此,旋转体的侧面积为:
$$S = 2lh + 2\pi a^2 = \frac{8\pi}{3}a^2 E\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi a^2$$
综上所述,星形线所围成的面积为 $\pi a^2$,弧长为 $\frac{4a}{3} E\left(\frac{1}{2}\right)$,绕 $x$ 轴旋转而生成的旋转体体积为 $\frac{4\pi}{9}a^3$,侧面积为 $\frac{8\pi}{3}a^2 E\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi a^2$。