报数：有 n 个人围成一圈，按顺序从 1 到 n 编好号。从第一个人开始报数，报到 m（m<n） 的人退出圈子，下一个人从 1 开始报数，报到 m 的人退出圈子。如此下去，直到留下最后一 个人。输入整数 n 和 m，输出最后一个退出圈子人的编号。试编写相应程序。

### 回答1：
这是一个经典的约瑟夫问题。假设 n=5，m=3，那么游戏的过程如下：

1 2 3 4 5 （初始序列）

1 2 4 5 （第一轮，第三个人退出）

2 4 5 （第二轮，第三个人退出）

2 4 （第三轮，第一个人退出）

4 （第四轮，第二个人退出）

因此，最后一个退出圈子的人的编号是 4。

解决这个问题的一种方法是使用循环链表。首先，我们创建一个包含 n 个节点的循环链表，每个节点表示一个人。然后，我们从第一个节点开始，依次数 m 个节点，将第 m 个节点从链表中删除。重复这个过程，直到链表中只剩下一个节点为止。最后一个节点就是最后一个退出圈子的人。

以下是一个 Python 实现：

class Node:
    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.next = None

def josephus(n, m):
    # 创建循环链表
    head = Node(1)
    prev = head
    for i in range(2, n+1):
        curr = Node(i)
        prev.next = curr
        prev = curr
    prev.next = head

    # 开始游戏
    curr = head
    while curr.next != curr:
        # 找到第 m 个节点的前一个节点
        for i in range(m-1):
            curr = curr.next
        # 删除第 m 个节点
        curr.next = curr.next.next
        curr = curr.next

    return curr.value

n = int(input("请输入 n："))
m = int(input("请输入 m："))
print("最后一个退出圈子的人的编号是：", josephus(n, m))

注意，这个实现中的链表是循环的，即最后一个节点的 next 指针指向第一个节点。这样可以避免在删除节点时需要特殊处理边界情况。

### 回答2：
题目解析：

这是一道著名的约瑟夫问题（Josephus Problem）。可以采用递归或循环计数的方式来求解。

递归方式：

递归方式比较简单，关键在于如何计算每一轮的起点和终点。假设f(n,m)为n个人报数，每次报到m的人出圈，最后剩下的人编号。根据题意，第一轮报数结束后，第m个人出圈后，待在圈中的人编号为1, 2, …, m-1, m+1, …, n，再将他们重新排列，编号从m+1开始。假设第m+1个人在重新排列后的位置为k，则第二轮的起点和终点位置是k, k+m-1。因为重新排列后的第一个人是原来的第m+1个人，所以在重新排列后，第k个人的编号是m+1，第k+m-1个人的编号是n。因此，可以递归地求解出f(n-1,m)。最终求解出f(1,m)，即为最后一个出圈的人的编号。

循环计数方式：

循环计数方式则需要模拟整个报数过程。假设n个人按顺序编号为1,2,…,n，即第i个人的编号为i，报数计数器为cnt（初始值为1）。首先，第一个人开始报数，每次cnt加1，当cnt为m时，该人出圈，同时cnt重置为1，下一个人开始报数。依次进行，直到剩下最后一个人。

因为是环形的，所以在计数时需要注意循环，可以采用模运算来实现。

代码实现（两种方式）：

递归方式：

def josephus(n, m):
    if n == 1:
        return 1
    else:
        return (josephus(n-1, m) + m - 1) % n + 1

n = int(input("请输入n:"))
m = int(input("请输入m:"))

print("最后一个出圈的人的编号为：", josephus(n, m))

循环计数方式：

n = int(input("请输入n:"))
m = int(input("请输入m:"))

nums = [i for i in range(1, n+1)]

cnt = 0
while len(nums) > 1:
    cnt += 1
    if cnt == m:
        nums.pop(0)
        cnt = 0
    else:
        nums.append(nums.pop(0))
        
print("最后一个出圈的人的编号为：", nums[0])

总结：

两种方法各有优劣，递归方式代码简单，但对于大数据量计算效率较低；循环计数方式代码稍复杂，但适合数据量较大的情况。

### 回答3：
这是一道经典的约瑟夫问题，可以用数学归纳法或者递归算法求解。

采用递归算法的话，我们可以将每次轮到的人编号视为 k，然后分两种情况：

1.如果当前轮到的人是最后一个人（编号为 n），那么他被淘汰后，剩下的人组成的问题可以看成一个 n-1 个人的子问题，此时递归调用本函数，传入参数为 (n-1, m)；

2.如果当前轮到的人不是最后一个人（编号为 k），那么他被淘汰后，剩下的人组成一个新的环，此时我们需要将剩下的人的编号重新调整，以编号 k+1 的人作为新的开始（因为原来的第一个人被淘汰掉了），此时递归调用本函数，传入参数为 (n-1, m)，其中 n-1 表示新环中人的数量。

递归函数的终止条件为 n=1，此时返回 1。

下面是该算法的 Python 代码实现：

def lastRemaining(n, m):
if n == 1:
return 1
else:
return (lastRemaining(n-1, m) + m - 1) % n + 1

其中 % 表示求余数运算。我们可以通过调用该算法来获得最后一个退出圈子人的编号，例如：

print(lastRemaining(7, 3)) # 输出 4