假设二维特征空间中样本集(属同一类别)如下: (1,0.5)(0.5,1)(2,1) (2,2)(3,3)(1.5,1.5)(0,0)(0.5,0)(4,4)(2,1.5) 若h=1,采用方窗法估计点(0,0),(1,1)的概率密度。
时间: 2023-10-23 09:10:14 浏览: 56
方窗法是一种非参数估计概率密度函数的方法,其估计公式为:
$$
\hat{f}_h(x) = \frac{1}{nh^d}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{x-x_i}{h}\right)
$$
其中,$K(u)$是核函数,$h$是窗口大小(也称为带宽),$d$是特征空间的维数,$x_i$是样本集中的第$i$个样本,$n$是样本集的大小。
对于二维特征空间,$d=2$。常用的核函数包括高斯核函数、矩形核函数、三角核函数等,这里我们采用矩形核函数:
$$
K(u) = \begin{cases}
1/2, & |u_1|\leq 1, |u_2|\leq 1 \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
对于点$(0,0)$,我们有:
$$
\begin{aligned}
\hat{f}_h(0,0) &= \frac{1}{nh^2}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{(0,0)-(x_i)}{h}\right) \\
&= \frac{1}{nh^2}\left(K\left(\frac{(0,0)-(1,0.5)}{h}\right)+K\left(\frac{(0,0)-(0.5,1)}{h}\right)+K\left(\frac{(0,0)-(2,1)}{h}\right)\right. \\
&\quad \left.+K\left(\frac{(0,0)-(2,2)}{h}\right)+K\left(\frac{(0,0)-(3,3)}{h}\right)+K\left(\frac{(0,0)-(1.5,1.5)}{h}\right)\right. \\
&\quad \left.+K\left(\frac{(0,0)-(0,0)}{h}\right)+K\left(\frac{(0,0)-(0.5,0)}{h}\right)+K\left(\frac{(0,0)-(4,4)}{h}\right)\right. \\
&\quad \left.+K\left(\frac{(0,0)-(2,1.5)}{h}\right)\right) \\
&= \frac{1}{10h^2}\left(1+1+1+0+0+0+1+1+0+1\right) \\
&= \frac{5}{10h^2} \\
&= \frac{1}{2h^2}
\end{aligned}
$$
对于点$(1,1)$,我们有:
$$
\begin{aligned}
\hat{f}_h(1,1) &= \frac{1}{nh^2}\sum_{i=1}^{n}K\left(\frac{(1,1)-(x_i)}{h}\right) \\
&= \frac{1}{nh^2}\left(K\left(\frac{(1,1)-(1,0.5)}{h}\right)+K\left(\frac{(1,1)-(0.5,1)}{h}\right)+K\left(\frac{(1,1)-(2,1)}{h}\right)\right. \\
&\quad \left.+K\left(\frac{(1,1)-(2,2)}{h}\right)+K\left(\frac{(1,1)-(3,3)}{h}\right)+K\left(\frac{(1,1)-(1.5,1.5)}{h}\right)\right. \\
&\quad \left.+K\left(\frac{(1,1)-(0,0)}{h}\right)+K\left(\frac{(1,1)-(0.5,0)}{h}\right)+K\left(\frac{(1,1)-(4,4)}{h}\right)\right. \\
&\quad \left.+K\left(\frac{(1,1)-(2,1.5)}{h}\right)\right) \\
&= \frac{1}{10h^2}\left(1+1+1+0+0+0+0+0+0+0\right) \\
&= \frac{3}{10h^2} \\
&= \frac{3}{2h^2}
\end{aligned}
$$
因此,当$h=1$时,点$(0,0)$的概率密度估计为$\frac{1}{2}$,点$(1,1)$的概率密度估计为$\frac{3}{2}$。