fortran矩阵求逆

Fortran语言提供了多种矩阵求逆的方法，其中最常用的是LU分解法和Gauss-Jordan法。下面分别介绍这两种方法的实现方式。

1. LU分解法

LU分解法将原矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。求逆的过程可以分为两步：先求L和U的逆矩阵，然后根据A的逆矩阵公式(A^-1)=(LU)^-1=U^-1L^-1来求A的逆矩阵。

下面是LU分解法的Fortran代码实现：

subroutine LU_inv(A, N, A_inv)
! A: 原矩阵，N: 矩阵维度，A_inv: 逆矩阵
  implicit none
  integer, intent(in) :: N
  real*8, dimension(N, N), intent(in) :: A
  real*8, dimension(N, N), intent(out) :: A_inv
  real*8, dimension(N, N) :: L, U, L_inv, U_inv, temp
  integer i, j, k
 
  ! LU分解
  do i=1, N
    do j=1, N
      if (i <= j) then
        U(i,j) = A(i,j)
        do k=1, i-1
          U(i,j) = U(i,j) - L(i,k)*U(k,j)
        end do
        L(j,i) = 0.0d0
      else
        L(j,i) = A(j,i)
        do k=1, j-1
          L(j,i) = L(j,i) - L(j,k)*U(k,i)
        end do
        L(j,i) = L(j,i) / U(i,i)
        U(j,i) = 0.0d0
      end if
    end do
  end do
  
  ! 求L和U的逆矩阵
  do i=1, N
    L_inv(i,i) = 1.0d0 / L(i,i)
    do j=1, i-1
      L_inv(i,j) = -L(i,j) / L(i,i)
    end do
    do j=i+1, N
      L_inv(i,j) = 0.0d0
    end do
  end do
  
  do i=1, N
    U_inv(i,i) = 1.0d0 / U(i,i)
    do j=1, i-1
      U_inv(i,j) = 0.0d0
    end do
    do j=i+1, N
      U_inv(i,j) = -U(i,j) / U(i,i)
    end do
  end do
  
  ! 求A的逆矩阵
  temp = matmul(U_inv, L_inv)
  A_inv = temp
  
end subroutine LU_inv

2. Gauss-Jordan法

Gauss-Jordan法是一种直接求解逆矩阵的方法，它通过对增广矩阵[A|I]进行初等行变换，将矩阵A变为单位矩阵I，同时将变换过程应用到单位矩阵上，得到矩阵A的逆矩阵。

下面是Gauss-Jordan法的Fortran代码实现：

subroutine Gauss_Jordan_inv(A, N, A_inv)
! A: 原矩阵，N: 矩阵维度，A_inv: 逆矩阵
  implicit none
  integer, intent(in) :: N
  real*8, dimension(N, N), intent(in) :: A
  real*8, dimension(N, N), intent(out) :: A_inv
  real*8, dimension(N, 2*N) :: aug
  real*8 :: pivot
  integer i, j, k
  
  ! 构造增广矩阵[A|I]
  aug(:,1:N) = A
  aug(:,N+1:2*N) = 0.0d0
  do i=1, N
    aug(i,i+N) = 1.0d0
  end do
  
  ! 初等行变换，将A变为单位矩阵I
  do i=1, N
    pivot = aug(i,i)
    do j=1, 2*N
      aug(i,j) = aug(i,j) / pivot
    end do
    do j=1, N
      if (j /= i) then
        pivot = aug(j,i)
        do k=1, 2*N
          aug(j,k) = aug(j,k) - pivot*aug(i,k)
        end do
      end if
    end do
  end do
  
  ! 提取逆矩阵
  A_inv = aug(:,N+1:2*N)
  
end subroutine Gauss_Jordan_inv

以上两种方法都可以求解矩阵的逆，但LU分解法的计算量较小，适用于维度较大的矩阵；而Gauss-Jordan法对原矩阵的要求较低，适用于一般情况下的矩阵求逆。