梯度下降法损失函数定义代码

以下是使用梯度下降法训练神经网络时，定义损失函数的代码示例：

import numpy as np

def loss_function(y_true, y_pred):
    """
    计算损失函数
    :param y_true: 真实值
    :param y_pred: 预测值
    :return: 损失值
    """
    # 计算交叉熵损失
    loss = -np.mean(y_true * np.log(y_pred) + (1 - y_true) * np.log(1 - y_pred))
    return loss

在上述代码中，我们使用交叉熵损失函数来定义损失值。其中，y_true是真实值，y_pred是预测值，np.log是自然对数函数，*表示元素相乘，+表示元素相加。最后，用np.mean计算平均损失值。

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随机梯度下降法优化beale函数代码

以下是使用随机梯度下降法优化Beale函数的Python代码：

import numpy as np

def beale(x):
    """
    Beale函数：f(x, y) = (1.5 - x + x*y)**2 + (2.25 - x + x*y**2)**2 + (2.625 - x + x*y**3)**2
    """
    return (1.5 - x[0] + x[0]*x[1])**2 + (2.25 - x[0] + x[0]*x[1]**2)**2 + (2.625 - x[0] + x[0]*x[1]**3)**2

def beale_gradient(x):
    """
    Beale函数的梯度向量
    """
    grad = np.zeros_like(x)
    grad[0] = 2*(x[0]*x[1] - x[0] + 1.5)*(x[1]**3) + 2*(x[0]*x[1]**2 - x[0] + 2.25)*(x[1]**2) + 2*(x[0]*x[1]**3 - x[0] + 2.625)*x[1]
    grad[1] = 2*(x[0]*x[1] - x[0] + 1.5)*(x[0]) + 2*(x[0]*x[1]**2 - x[0] + 2.25)*(2*x[0]*x[1]) + 2*(x[0]*x[1]**3 - x[0] + 2.625)*(3*x[0]*x[1]**2)
    return grad

def sgd_beale(x0, learning_rate=0.001, max_iter=10000, tol=1e-6):
    """
    使用随机梯度下降法优化Beale函数
    """
    x = x0.copy()
    for i in range(max_iter):
        # 随机选择一个方向
        direction = np.random.randn(2)
        # 计算梯度
        grad = beale_gradient(x)
        # 更新参数
        x -= learning_rate * grad * direction
        # 检查收敛性
        if np.linalg.norm(grad) < tol:
            print("SGD converged in {} iterations.".format(i+1))
            break
    return x

# 测试
np.random.seed(0)
x0 = np.array([1.0, 1.0])
x_opt = sgd_beale(x0)
print("Optimized solution: x = {:.6f}, y = {:.6f}, f(x, y) = {:.6f}".format(x_opt[0], x_opt[1], beale(x_opt)))

在上面的代码中，我们定义了Beale函数及其梯度向量，然后使用随机梯度下降法优化这个函数。在每次迭代中，我们随机选择一个方向（即随机生成一个二维向量），计算梯度，并更新参数。我们使用欧几里得范数来检查梯度是否已经足够小，如果是，则认为算法已经收敛。最后，我们输出优化后的解及其函数值。

matlab中梯度下降法求函数极值

在Matlab中，使用梯度下降法求函数的极值可以分为以下几个步骤：

1. 定义目标函数：首先，在Matlab中定义目标函数。为了简单起见，我们假设目标函数为一个简单的二次函数，例如：f(x) = x^2 + 2x + 1。

2. 计算梯度：在定义目标函数后，使用Matlab的符号计算功能获取目标函数的梯度。对于上述的二次函数，梯度可以通过调用gradient()函数来计算。

3. 初始化参数：在使用梯度下降法时，需要初始化参数。例如，假设初始参数为x0 = 0。

4. 设置学习率：学习率决定了参数更新的步长，即每一次迭代时参数的变化程度。可以根据实际情况手动设定合适的学习率，例如lr = 0.1。

5. 迭代更新参数：通过使用求得的梯度和设定的学习率，根据梯度下降法的更新规则进行迭代更新参数，直到达到迭代次数或者满足停止条件。更新参数的规则为：x = x - lr * gradient。

6. 输出结果：最后，输出得到的参数值和对应的目标函数值，即对于上述例子，输出最终的x值以及计算得到的f(x)值。

需要注意的是，上述步骤是简化的示例，实际情况中可能需要进行更复杂的操作和设置，例如设定合适的停止条件、选择合适的学习率和迭代次数等。同时，在使用梯度下降法时，也需要对目标函数的性质和参数的选择进行充分的理解和思考。