直扩信号检测概率理论推导

直接扩频信号检测是一种基于信号加扰技术的信号检测方法，其原理是在发送端对原始信号进行扩频处理，接收端根据预先设定好的扩频码进行解扩，将信号恢复成原始信号进行检测。下面是直接扩频信号检测概率理论推导的步骤：

假设发送端发送的是直接扩频信号 s(t)，接收端接收到的信号为：

$r(t)=s(t)h(t)+n(t)$

其中，h(t)为信道的冲激响应，n(t)为加性高斯白噪声。

接下来，我们需要进行信号检测。假设我们有两种假设：

$H_0$: 接收到的信号为纯噪声。

$H_1$: 接收到的信号为含有扩频码的信号。

根据最小误差概率准则，我们需要对信号进行判决。具体来说，我们需要比较两种假设下的条件概率：

$P(H_1|r(t))$

$P(H_0|r(t))$

如果 $P(H_1|r(t))$ 大于 $P(H_0|r(t))$，则我们判定接收到的信号为含有扩频码的信号，否则判定为纯噪声。

根据贝叶斯公式，我们可以得到：

$P(H_1|r(t))=\frac{P(r(t)|H_1)P(H_1)}{P(r(t)|H_1)P(H_1)+P(r(t)|H_0)P(H_0)}$

$P(H_0|r(t))=\frac{P(r(t)|H_0)P(H_0)}{P(r(t)|H_1)P(H_1)+P(r(t)|H_0)P(H_0)}$

其中，$P(H_1)$ 和 $P(H_0)$ 分别为先验概率，$P(r(t)|H_1)$ 和 $P(r(t)|H_0)$ 分别为似然函数。

假设发送的扩频码为 c(t)，则有：

$P(r(t)|H_0)=\frac{1}{\pi^n}e^{-\frac{\|r(t)\|^2}{n}}$

$P(r(t)|H_1)=\frac{1}{\pi^n}e^{-\frac{\|r(t)-c(t)h(t)\|^2}{n}}$

其中，n为噪声功率谱密度。

将上述式子代入贝叶斯公式中，可以得到直接扩频信号检测的概率理论推导。