已知正例点 x1 = (1,1) T , x2 = (0,2) T ,标签分别为 y1 = 1 , y2 = 1 ,负例点 x3 = (2,-1) T ,标 签为 y3 = -1 ，使用SMO算法，求得分离超平面并写出支持向量。

首先需要将数据转换成对偶问题的形式。假设正例点有m个，负例点有n个，则对偶问题的目标函数为：

$$
L(\alpha) = \sum_{i=1}^{m}\alpha_i - \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\alpha_i\alpha_jy_iy_jx_i^Tx_j
$$

同时，需要满足以下约束条件：

$$
\left\{
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{m}\alpha_iy_i &= 0 \\
0 \leq \alpha_i \leq C, i &= 1,2,\dots,m
\end{aligned}
\right.
$$

其中，$\alpha_i$为拉格朗日乘子，$C$为惩罚参数。

将数据代入目标函数，可以得到：

$$
L(\alpha) = \alpha_1 + \alpha_2 - \frac{1}{2}(\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + 2\alpha_1\alpha_2) + \alpha_3 - \frac{1}{2}(\alpha_1\alpha_3 + \alpha_2\alpha_3)
$$

上述目标函数的导数为：

$$
\frac{\partial L}{\partial \alpha_i} = 1 - \alpha_i(y_1y_i(x_1^Tx_i) + y_2y_i(x_2^Tx_i) + y_3y_i(x_3^Tx_i))
$$

将$\alpha_1$和$\alpha_2$限制在$[0,C]$之间，可以得到以下的解：

$$
\alpha_1 = 0,\alpha_2 = 1,\alpha_3 = 1
$$

因此，分离超平面的表达式为：

$$
w^Tx + b = 0
$$

其中，

$$
w = \sum_{i=1}^{m}\alpha_iy_ix_i = (-1,1)^T
$$

$$
b = y_2 - w^Tx_2 = -1
$$

支持向量为$x_2$和$x_3$。