givens变换的c和s如何取值

Givens变换是一种将一个矩阵的某两列（或某两行）线性组合得到一对新列（或新行）的矩阵变换。在Givens变换中，c和s是两个参数，分别表示cos和sin值。它们的取值由所要进行变换的矩阵中需要变为0的位置来决定。

具体地说，设矩阵A中第i行第j列和第k行第j列（或第i行第k列和第i行第j列）需要进行线性组合得到新的列向量。则可构造一个Givens变换矩阵G，将这两行（或两列）的线性组合变为新的一列（或一行）。

在构造Givens变换矩阵时，需要选择c和s的值，使得线性组合后新的一行（或一列）中第j个元素为0。通常选择c和s满足以下条件：

- 当A[j][j] = 0 时，c = 0, s = 1
- 当A[k][j] = 0 时，c = 1, s = 0
- 当A[i][j] = 0 时，c = +/-1, s = 0（要保证G是正交矩阵）
- 当A[k][j] != 0 时，c = A[j][j]/r, s = A[k][j]/r, 其中r = sqrt(A[j][j]^2 + A[k][j]^2)

通过选择合适的c和s的值，可以使得Givens变换将矩阵A中某两行（或某两列）的线性组合变为新的一行（或一列），并且在这一过程中保持矩阵的正交性。

相关问题

givens变换怎么确定c和s

Givens变换是一种常用的线性代数工具，用于将一个矩阵通过相似变换转化为特定形式。在Givens变换中，我们通过旋转矩阵的方式来改变矩阵的特定元素。在进行Givens变换时，我们需要确定旋转角度的两个参数c和s。

首先，我们需要确定一个要进行旋转的平面，这个平面由矩阵的两个特定元素所决定。假设我们要旋转的平面是由矩阵中的第i行第j列元素和第i行第k列元素所确定的。那么我们将找到一个Givens旋转矩阵R，使得R将这个平面上的点旋转到新的平面上，其中旋转矩阵R由以下形式确定：

R = [1, 0, 0, ..., 0, 0, 0;
0, 1, 0, ..., 0, 0, 0;
0, 0, ..., 0, c, 0, s;
0, 0, ..., 0, -s, 0, c;
0, 0, 0, ..., 0, 1, 0;
0, 0, 0, ..., 0, 0, 1]

其中c和s是旋转角度的两个参数。为了确定c和s，我们需要考虑矩阵的性质。根据旋转矩阵的性质，我们需要使得通过旋转后的平面，原平面上的点在新平面上的第j列元素为0。通过计算数值，我们可以求解c和s的值：

c = 第j列元素 / 根号(第j列元素^2 + 第k列元素^2)
s = 第k列元素 / 根号(第j列元素^2 + 第k列元素^2)

通过以上计算，我们可以得到c和s的值，从而确定了Givens变换所需的旋转角度。

Givens 变换和Jacobi变换区别

Givens变换和Jacobi变换都是用于矩阵对角化的方法，它们的区别在于实现方式和适用范围。

Givens变换是通过构造一个旋转矩阵，将矩阵中的某个元素化为0。具体来说，就是构造一个形如：

[cosθ -sinθ]
[sinθ cosθ ]

的旋转矩阵，然后通过左乘或右乘矩阵，将矩阵中的某个元素变为0。Givens变换适用于任意矩阵的对角化，但是每次只能将一个元素变为0，所以需要多次迭代才能完成对角化。

Jacobi变换是通过构造一系列的正交变换，将矩阵对角化。具体来说，就是构造一个形如：

[c s]
[-s c]

的正交变换矩阵，其中c和s是满足c^2+s^2=1的数值。然后通过左乘和右乘矩阵，将矩阵中的某个元素变为0。Jacobi变换适用于对称矩阵的对角化，每次可以将两个元素变为0，所以迭代次数较少。

因此，Givens变换和Jacobi变换虽然都可以用于矩阵对角化，但是适用范围和实现方式都有所不同。