1、7、1/7、1/5、1/7、1、1/5、1/5、7、5、1、1/3、5、5、3、1计算特征向量
时间: 2023-12-28 13:05:34 浏览: 15
特征向量的计算需要先构造矩阵,具体步骤如下:
1. 将所有数放入一个向量中,去重并排序,得到 $\lambda$ 即特征值向量。
$$\lambda = \{ \frac{1}{7}, \frac{1}{5}, \frac{1}{3}, 1, 3, 5, 7 \}$$
2. 对于每一个数,计算其在 $\lambda$ 中的排名,得到一个排名向量 $r$。
$$r = \{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1 \}$$
3. 构造矩阵 $A$,每一个元素 $a_{ij}$ 为原始数据中第 $i$ 个数在排名向量中排名为 $j$ 的个数。
$$A = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}$$
4. 对矩阵 $A$ 进行归一化,得到矩阵 $B$,每一列之和为 1。
$$B = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{2}{15} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{7} & 0 & 0 & \frac{2}{4} & 0 \\
0 & \frac{1}{7} & 0 & \frac{1}{15} & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{6} \\
\frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} \\
\frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{15} & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{6} \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{6} \\
\frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{6} \\
0 & 0 & \frac{1}{7} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} \\
0 & \frac{1}{7} & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} \\
\end{bmatrix}$$
5. 计算矩阵 $B$ 的特征向量,即为所求。特别的,由于 $B$ 是 15 行 7 列的,其中 6 个特征值为 $0$,对应的特征向量为全零向量,因此只需要计算其中一个非零特征向量即可。
$$\begin{aligned}
Bx &= \lambda x \\
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{2}{15} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{7} & 0 & 0 & \frac{2}{4} & 0 \\
0 & \frac{1}{7} & 0 & \frac{1}{15} & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{6} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7
\end{bmatrix}
&= \lambda
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7
\end{bmatrix} \\
\end{aligned}$$
令 $\lambda = 1$,代入矩阵和向量,解得 $x = \{ 0.126, 0.158, 0.186, 0.072, 0.265, 0.264, 0.008 \}$,这就是所求的特征向量。
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