证明牛顿法对于严格凸二次函数迭代一次即得到该函数的全局极小点,请你给我具体的证明过程.
时间: 2024-06-02 22:07:45 浏览: 8
好的,关于牛顿法对于严格凸二次函数的收敛性证明,可以按照下面的步骤来证明:
首先,我们定义一个凸二次函数如下:
$$
f(x)=\frac{1}{2}x^TQx-c^Tx+d
$$
其中,$Q$是正定矩阵,$c$是向量,$d$是标量。
对上式求一阶导数和二阶导数可得:
$$
\nabla f(x) = Qx-c
$$
$$
\nabla^2 f(x) = Q
$$
接着,我们使用牛顿法来求解该函数的极小点。牛顿法的迭代公式为:
$$
x_{k+1} = x_k - \alpha_k (\nabla^2 f(x_k))^{-1} \nabla f(x_k)
$$
其中,$\alpha_k$是步长,可以使用线搜索等方法得到。
对上式进行推导即可得到:
$$
x_{k+1} = (Q^{-1}+c^TQ^{-1}c)^{-1} (Q^{-1}x_k+c^T)
$$
我们现在来证明牛顿法对于该函数只需要一次迭代即可收敛到全局极小点。
首先,我们记全局极小点为$x^*$,则有:
$$
Qx^* = c
$$
接着,我们记$x_1$为牛顿法的第一次迭代点,则有:
\begin{aligned}
x_1 &= (Q^{-1}+c^TQ^{-1}c)^{-1} (Q^{-1}x_0+c^T) \\
&= (Q^{-1}+c^TQ^{-1}c)^{-1} (Q^{-1}(x^*+\varepsilon)+c^T) \\
&= x^* - \varepsilon (Q^{-1}+c^TQ^{-1}c)^{-1}c^TQ^{-1}(Q^{-1}+c^TQ^{-1}c)^{-1}
\end{aligned}
我们现在就要证明,只要$\varepsilon$足够小,就有$x_1=x^*$,即牛顿法一次迭代即可收敛到全局极小点。
根据矩阵求逆的性质,有:
$$
(Q^{-1}+c^TQ^{-1}c)^{-1}Q^{-1} = Q(Q+c^TQ^{-1}c)^{-1}
$$
代入$x_1$的公式中,可得:
\begin{aligned}
x_1 &= x^* - \varepsilon Q(Q+c^TQ^{-1}c)^{-1}c^T(Q+c^TQ^{-1}c)^{-1} \\
&= x^* - \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon c^TQ^{-1}c} Qc^T(Q+c^TQ^{-1}c)^{-1} \\
&= x^* - \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon c^TQ^{-1}c} Qc^T(Q^{-1}c+c^TQ^{-1}c)^{-1} \\
&= x^* - \frac{\varepsilon}{1+\varepsilon c^TQ^{-1}c} (Q^{-1}+c^TQ^{-1}c)(Q^{-1}+c^TQ^{-1}c)^{-1}c \\
&= x^*
\end{aligned}
证毕,如果$\varepsilon$足够小,则牛顿法只需要一次迭代即可收敛到全局极小点。
以上就是牛顿法对于严格凸二次函数的收敛性证明,希望能够对您有所帮助。
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)