无放回的抽取9个样本9.9,10.9,10,10.1,9.9,10.1,10,10,9.9,据此求总体均值、方差和标准差的点估计,若假设样本服从正态分布,求均值的95%置信区间。计算过程与结果是什么
时间: 2024-04-06 10:33:52 浏览: 194
正态总体均值与方差的区间估计
根据给定的样本,我们可以计算出点估计的总体均值、方差和标准差如下:
- 总体均值的点估计:$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_i=\frac{99.8}{9}=11.0$
- 总体方差的点估计:$s^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2\approx0.0922$
- 总体标准差的点估计:$s=\sqrt{s^2}\approx0.3036$
接下来,我们可以利用样本均值和样本标准差来计算均值的95%置信区间。由于样本服从正态分布,我们可以使用t分布来计算置信区间。根据t分布的性质,当样本容量为$n$时,t分布的自由度为$n-1$。
因此,置信区间的计算过程如下:
- 计算$t$分布的临界值$t_{\alpha/2}$,其中$\alpha=0.05$,自由度为$n-1=8$。查表可得$t_{\alpha/2}=2.306$。
- 计算置信区间的上下界:$\bar{x}\pm t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}$。代入样本数据可得,置信区间为$11.0\pm2.306\times\frac{0.3036}{\sqrt{9}}$,即$11.0\pm0.315$。
- 因此,均值的95%置信区间为$(10.685,11.315)$。
综上所述,根据给定的样本数据,我们可以得出点估计的总体均值、方差和标准差,以及均值的95%置信区间为$(10.685,11.315)$。
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