使用Verilog语言，完成极化码的编码，并通过高斯信道模块（要求能改变其噪声功率大小）和SC译码模块，并给出testbench。

由于题目比较复杂，涉及到Verilog语言和通信原理，我会分步骤详细讲解。

首先，我们来了解一下极化码的编码和SC译码的原理。

## 极化码编码

极化码是一种通过数学方法生成的渐进编码方案，可以实现在低复杂度下达到香农极限。其编码过程如下：

1. 将初始的$n$位0/1序列看做$n$个长度为1的码字。
2. 每次将码字数减半，取出相邻的两个码字并进行编码，即将它们作为一对，根据其和与差的奇偶性分别得到两个码字，取代原来的码字。
3. 重复步骤2，直到只剩一个码字为止。

例如，对于$4$位极化码的编码过程如下：

初始序列：0000

第1轮编码：00 00 -> 00 00
           01 01 -> 11 01
           
第2轮编码：00 11 -> 00 11
           01 01 -> 11 01
           
第3轮编码：0011 -> 0011
           1101 -> 1110
           
最终结果：0011

## SC译码

SC（Successive Cancellation）译码是一种基于树状结构的译码算法，其译码过程如下：

1. 构建一棵二叉树，每个节点表示一个码字。
2. 从叶节点到根节点，逐层计算每个节点的LLR（Log-Likelihood Ratio）值，即表示该节点为1的概率与为0的概率之比的对数。
3. 从根节点到叶节点，逐层计算每个节点的决策，即选择LLR值较大的分支作为该节点的值。
4. 最终得到译码结果。

例如，对于以下的二叉树：

            o
           / \
          o   1
         / \
        0   1

假设我们已知叶节点的LLR值为：

LLR(0) = 1.2
LLR(1) = -0.8
LLR(2) = 0.5
LLR(3) = -1.5

则可以逐层计算每个节点的LLR值：

LLR(o) = LLR(0) + LLR(1) = 0.4
LLR(1) = LLR(2) + LLR(3) = -1.0
LLR(0) = LLR(1) = -0.3
LLR(2) = LLR(o) - LLR(1) = 1.4
LLR(3) = LLR(1) = -1.0

最终得到译码结果为$01$。

有了以上的基础知识，我们可以开始编写Verilog代码了。

## 极化码编码模块

我们需要实现一个模块，将输入的$n$位数据进行极化码编码，生成$2^n$位的编码结果。

### 模块输入输出

该模块的输入如下：

- `n`：输入数据的位数，$1\leq n\leq 10$。
- `in`：输入数据，$n$位二进制数。

该模块的输出如下：

- `out`：编码结果，$2^n$位二进制数。

### 模块实现

我们可以使用递归的方式实现极化码编码。具体实现如下：

module polar_encoder #
(
    parameter N = 4
)
(
    input [N-1:0] in,
    output [2**N-1:0] out
);

function [N-1:0] polar_encode;
    input [N-1:0] in;
    if (N == 1) begin
        polar_encode[0] = in[0];
    end else begin
        polar_encode[0:N/2-1] = polar_encode(in[0:N/2], in[N/2:N-1]);
        polar_encode[N/2:N-1] = polar_encode(in[0:N/2] ^ in[N/2:N-1], in[N/2:N-1]);
    end
endfunction

assign out = polar_encode(in);

endmodule

这里的关键在于递归调用`polar_encode`函数，实现对每个相邻的码字进行编码。

## 高斯信道模块

我们需要实现一个模块，模拟高斯信道的传输过程，即将输入的信号加上高斯噪声，输出噪声后的信号。

### 模块输入输出

该模块的输入如下：

- `in`：输入信号。
- `noise_power`：噪声功率，用于控制噪声大小。

该模块的输出如下：

- `out`：输出信号，为输入信号加上高斯噪声后的结果。

### 模块实现

我们可以使用`$gaussian`系统任务生成高斯噪声，然后将其加到输入信号上。具体实现如下：

module gaussian_channel #
(
    parameter WIDTH = 8
)
(
    input [WIDTH-1:0] in,
    input [31:0] noise_power,
    output [WIDTH-1:0] out
);

reg signed [WIDTH-1:0] noise;

initial begin
    $randomseed = $time;
end

always @(*) begin
    $gaussian(noise, noise_power);
    out = in + noise;
end

endmodule

这里使用`always @(*)`，保证每次输入信号或噪声功率发生变化时都会重新计算输出信号。

## SC译码模块

我们需要实现一个模块，将输入的$2^n$位编码数据进行SC译码，输出$n$位解码结果。

### 模块输入输出

该模块的输入如下：

- `in`：输入编码数据，$2^n$位二进制数。
- `n`：解码结果的位数，$1\leq n\leq 10$。

该模块的输出如下：

- `out`：解码结果，$n$位二进制数。

### 模块实现

我们可以使用二叉树结构实现SC译码。具体实现如下：

module sc_decoder #
(
    parameter N = 4
)
(
    input [2**N-1:0] in,
    input [N-1:0] n,
    output [N-1:0] out
);

reg [2**N-1:0] llr;

function [N-1:0] sc_decode;
    input [2**N-1:0] llr;
    input [N-1:0] n;
    if (n == 1) begin
        sc_decode[0] = (llr[0] > 0) ? 1 : 0;
    end else begin
        sc_decode[0:N/2-1] = sc_decode(llr[0:N/2-1], n-1);
        sc_decode[N/2:N-1] = sc_decode(llr[N/2:2**n-1] + llr[N/2-1:0], n-1);
    end
endfunction

assign llr = {in, {2**N-1{1'b0}}};
assign out = sc_decode(llr, n);

endmodule

这里的关键在于递归调用`sc_decode`函数，实现从叶节点到根节点计算LLR值，然后从根节点到叶节点进行决策。

## 测试模块

我们需要实现一个测试模块，测试以上三个模块的正确性。

### 模块实现

我们可以使用Verilog的`$display`系统任务输出测试结果。具体实现如下：

module testbench;

localparam WIDTH = 8;
localparam N = 4;

reg [N-1:0] in;
reg [N-1:0] out;
reg [2**N-1:0] encoded;
reg [2**N-1:0] channel_out;
reg [2**N-1:0] decoded;

integer i;

polar_encoder #(.N(N)) encoder(.in(in), .out(encoded));
gaussian_channel #(.WIDTH(WIDTH)) channel(.in(encoded), .noise_power(32'h40000000), .out(channel_out));
sc_decoder #(.N(N)) decoder(.in(channel_out), .n(N), .out(out));

initial begin
    $monitor("in=%b, encoded=%b, channel_out=%b, decoded=%b", in, encoded, channel_out, decoded);
    for (i = 0; i < 2**N; i = i + 1) begin
        in = i;
        #1;
    end
end

endmodule

这里的关键在于通过`$monitor`系统任务输出测试结果，可以在波形窗口中观察到每个时钟周期的输入、编码结果、信道输出和解码结果。

## 总结

本文介绍了Verilog语言下实现极化码编码、高斯信道模拟和SC译码的方法，并给出了相应的测试代码。这些模块可以用于实现通信系统中的编码和译码。