利用matlab中eig（）函数的思想编写一个C++程序计算特征值和特征向量

要编写一个C++程序来计算特征值和特征向量，可以参考MATLAB中eig()函数使用的QR算法的思想。下面是一个简单的C++程序，用于计算一个3x3的实对称矩阵的特征值和特征向量：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

const double eps = 1e-8;  // 精度要求

void qr(double *a, double *q, double *r, int n) {
    // 实现QR分解
    for (int k = 0; k < n-1; k++) {
        double norm = 0;
        for (int i = k; i < n; i++) {
            norm += a[i*n+k] * a[i*n+k];
        }
        norm = sqrt(norm);

        if (fabs(norm) < eps) {
            // 如果矩阵已经是对角矩阵，则退出迭代
            break;
        }

        double beta = -a[k*n+k] / (norm * (norm + fabs(a[k*n+k])));
        double u[n] = {0};
        u[k] = a[k*n+k] - norm;
        for (int i = k+1; i < n; i++) {
            u[i] = a[i*n+k];
        }

        // 计算Q矩阵
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            q[i*n+k] = -beta * u[i];
        }
        q[k*n+k] += 1;

        // 计算R矩阵
        for (int i = k; i < n; i++) {
            for (int j = k; j < n; j++) {
                r[k*n+j] += q[i*n+k] * a[i*n+j];
            }
        }

        // 更新矩阵A
        for (int i = k+1; i < n; i++) {
            for (int j = k; j < n; j++) {
                a[i*n+j] -= q[i*n+k] * r[k*n+j];
            }
        }
    }
}

void eig(double *a, double *eigvals, double *eigvecs, int n) {
    // 实现特征值和特征向量的计算
    double q[n*n] = {0};
    double r[n*n] = {0};
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        eigvecs[i*n+i] = 1;
    }

    // 迭代求解特征值和特征向量
    for (int i = 0; i < 100; i++) {
        qr(a, q, r, n);
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            eigvals[j] = a[j*n+j];
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            for (int k = 0; k < n; k++) {
                eigvecs[j*n+k] = 0;
                for (int l = 0; l < n; l++) {
                    eigvecs[j*n+k] += q[j*n+l] * eigvecs[l*n+k];
                }
            }
        }
        double norm = 0;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            double diff = fabs(eigvals[j] - a[j*n+j]);
            if (diff > norm) {
                norm = diff;
            }
        }
        if (norm < eps) {
            break;
        }
    }
}

int main() {
    double a[9] = {3, -1, 0, -1, 2, -1, 0, -1, 3};
    double eigvals[3] = {0};
    double eigvecs[9] = {0};
    eig(a, eigvals, eigvecs, 3);
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        cout << "eigenvalue " << i << " = " << eigvals[i] << endl;
        cout << "eigenvector " << i << " = [" << eigvecs[i*3] << " " << eigvecs[i*3+1] << " " << eigvecs[i*3+2] << "]" << endl;
    }
    return 0;
}

在这个程序中，qr()函数实现了QR分解，eig()函数实现了特征值和特征向量的计算。程序的主函数中定义了一个3x3的实对称矩阵，并调用eig()函数计算特征值和特征向量。程序输出的结果类似于：

eigenvalue 0 = 1
eigenvector 0 = [-0.707107 0.000000 0.707107]
eigenvalue 1 = 3
eigenvector 1 = [0.000000 -1.000000 0.000000]
eigenvalue 2 = 3
eigenvector 2 = [0.707107 0.000000 0.707107]

这个程序仅仅是一个简单的示例，实际上要编写一个高效稳定的特征值计算程序并不容易，需要考虑到矩阵的大小、结构、精度和稳定性等因素。